8 最後に

本稿では、[1] を元に、 線形の特性境界値問題 (2), (3), (5) の境界条件 (6) の必要性について考察し、 変数分離法によりそれが $\mu =1$ を境に分かれるということがわかったが、 数値計算の結果は $\mu =1$ を境に急激に分かれるというものではなく、 特に境界条件のいらない差分 (31) では、 本来は不適切であるはずの $0\leq\mu\leq 1$ の場合についても それほど強い不自然さは見られないといった結果となった。 むしろ数値的には $\mu=0$ を境にかなり不安定になるようであるが、 これが何を意味しているのかはよくはわからない。

よって、数値計算によって完全に裏付けられたとは言いがたいが、 大まかな傾向として、 境界条件のいらない差分 (31) は 小さい $\mu$ に対しては適切ではなく、 境界条件つきの差分 (32) は 大きい $\mu$ に対しては適切ではない、 ということは、少なくとも見てとれたのではないかと思う。

なお本稿は、慶応大学の高山正宏先生に [1] を紹介していただき、 そして色々と教えて頂いたことを元にして書いたものである。 さらに、高山先生には、本稿の原稿を見て頂いた上で、以下の指摘を頂いた。

• 方程式 (5) は、[1] の章末問題で、 線密度が $x^{\mu-1}$ に比例する場合の糸の振動として紹介されている。
• 5 節で (24), (25) による級数 (22) が (2), (3), (8) の解であると述べているが、 それはあくまで形式解であって、 厳密解になっているかどうかは収束性の議論等が必要であろう。

これらは確かにご指摘の通りである。 高山先生にはこの場を借りて深くお礼申し上げたい。