7 対称性

は、A, B のどちらが上であるかを考えないゲーム差の平均値であるから、互角のところ (

) で対称になっていて、またその互角のところではゲーム差が 0 に近いことが期待されるので、

で最小値を取ることが予想される。この節ではそれを考えてみる。すなわち、以下の 2 つを示す。

はに関して対称、すなわちはに関して偶関数となる
は $0\leq p\leq 1/2$ では減少、 $1/2\leq p\leq 1$ では増加する。よってで最小値を取り、で最大値を取る

最後の最大値

は、

が必ず勝つのであれば当然ゲーム差は

となるだろう。

5 節の (14) より、これはいずれも $F_{2m}$ について考えればよいことがわかる。ここでは (15) を用いて考えることにする。

とするとであるから、

$\begin{eqnarray*}\lefteqn{p^kq^{2m-k}+p^{2m-k}q^k} \\ &=& p^kq^k(q^{2m-2k}+p^{... ...{2}-r\right)^{2m-2k} +\left(\frac{1}{2}+r\right)^{2m-2k}\right\}\end{eqnarray*}$

となるので、これは明らかに

の偶関数となる (

の代わりに

を代入しても不変)。よって (15) より $F_{2m}(r+1/2)$ は確かに

の偶関数となる。

次に (15) をの式とみてで微分する。より

$\begin{eqnarray*}\lefteqn{(p^kq^{2m-k}+p^{2m-k}q^k)'} \\ &=& k(p^{k-1}q^{2m-k}-q^{k-1}p^{2m-k}) +(2m-k)(p^{2m-k-1}q^k-p^kq^{2m-k-1})\end{eqnarray*}$

となるが、今 $g(n,k)=p^{n-k}q^k-p^kq^{n-k}$ と書くことにすると、これは

$\begin{displaymath} (p^kq^{2m-k}+p^{2m-k}q^k)' = -kg(2m-1,k-1)+(2m-k)g(2m-1,k) \end{displaymath}$

と書ける。よって、(15) より、

$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\left(\frac{F_{2m}}{2m}\right)'} \\ &=& \sum_{k=1}^{... ...begin{array}{c} 2m-1 \\ m-2 \end{array}\right)\right\}g(2m-1,m-1)\end{eqnarray*}$

と変形すると、

の係数 $c_{m,k}$ は 5 節と同様の変形により、

$\begin{eqnarray*}\lefteqn{c_{m,k}} \\ &=& -\left\{\left(\begin{array}{c} 2m-1 ... ...ht) \\ &=& 2\left(\begin{array}{c} 2m-1 \\ k \end{array}\right)\end{eqnarray*}$

と書き直せる。同様に、

$\begin{eqnarray*}\lefteqn{(m+1)\left\{\left(\begin{array}{c} 2m-1 \\ m-1 \end{ar... ...right) = 2\left(\begin{array}{c} 2m-1 \\ m-1 \end{array}\right)\end{eqnarray*}$

となるので、結局

$\begin{displaymath} \left(\frac{F_{2m}}{2m}\right)' =\sum_{k=0}^{m-1}2\left(\begin{array}{c} 2m-1 \\ k \end{array}\right)g(2m-1,k) \end{displaymath}$

となる。ここで、

は $0\leq k\leq m-1$ に対し、

$\begin{eqnarray*}g(2m-1,k) &=& p^{2m-k-1}q^k-p^kq^{2m-k-1} = p^kq^k(p^{2m-2k... ...m-2k-1}) \\ &=& (p-q)p^kq^k\sum_{j=0}^{2m-2k-2}p^{2m-2k-2-j}q^j\end{eqnarray*}$