5 一般の場合
次に、一般の
の場合の
について考える。
これも、最初のいくつかを計算してみよう。
![\begin{eqnarray*}F_1(p) &=& \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right)(q+p...
...
+10(p^2-3p^3+3p^4-p^5+p^3-2p^4+p^5)
\\ &=&
5(1-2p+4p^3-2p^4)\end{eqnarray*}](img75.gif)
ここから、(12) を拡張した、
![\begin{displaymath}
\frac{F_{2m+1}(p)}{2m+1}=\frac{F_{2m}(p)}{2m}\end{displaymath}](img76.gif) |
(14) |
が成り立つことが予想される。本節ではこれを示す。
(7), (8) に共通の係数の部分は、
と分けると、
![\begin{eqnarray*}(n-k)\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)
&=&
\fr...
...!}\cdot k = n\left(\begin{array}{c} n-1 \\ k-1 \end{array}\right)\end{eqnarray*}](img78.gif)
と変形できるから、
となり、よって、(7), (8) は
となる。この両者の右辺が等しくなることを示す。
まず、
![\begin{displaymath}
f(n,k)=p^kq^{n-k}+p^{n-k}q^k\hspace{1zw}(0\leq k\leq n)\end{displaymath}](img84.gif) |
(17) |
と書くことにすると、(16) の和の中の
の
の最高次の項は、
となって、実際には次数が 1 つ下がることになる。
よって、これを
で表すことを考えてみる。
,
なので、
![\begin{eqnarray*}f(2m+1,k)
&=&
p^kq^{2m+1-k}+p^{2m+1-k}q^k
=
p^kq^{2m-k}(1-p...
...\\ &=&
p^kq^{2m-k}+p^{2m-k}q^k-(p^{k+1}q^{2m-k}+p^{2m-k}q^{k+1})\end{eqnarray*}](img89.gif)
となるので、
が成り立つことになる。これを繰り返し用いると、
![\begin{eqnarray*}\lefteqn{f(2m+1,k)}
\\ &=&
f(2m,k)-f(2m,k+1)+f(2m+1,k+2)
=\c...
...}(-1)^jf(2m,k+j)+(-1)^{m-k}f(2m+1,m)\hspace{1zw}(0\leq k\leq m-1)\end{eqnarray*}](img91.gif)
となるので、これを (16) に代入すると、
となる。ここで二重和が出てきたが、以下では二重和の交換定理
![\begin{displaymath}
\sum_{k=0}^n\sum_{j=0}^k A(k,j) = \sum_{j=0}^n\sum_{k=j}^n A(k,j)\end{displaymath}](img95.gif) |
(20) |
を何度か用いる。
今、(19) の二重和の項の方で
とすると、
(20) より
![\begin{eqnarray*}\lefteqn{\sum_{k=0}^{m-1}\sum_{i=k}^{m-1}
\left\{\left(\begin{...
...t(\begin{array}{c} 2m \\ k-1 \end{array}\right)\right\}(-1)^{i-k}\end{eqnarray*}](img97.gif)
となるので、
は、
と書けることになる。よってあとはこの係数部分の
![\begin{displaymath}
a_{m,i}=\sum_{k=0}^{i}\left\{\left(\begin{array}{c} 2m \\ k...
...nd{array}\right)\right\}(-1)^{i-k}
\hspace{1zw}(0\leq i\leq m)\end{displaymath}](img101.gif) |
(22) |
を考えればよい。これに (13) を用いると、
![\begin{eqnarray*}\lefteqn{a_{m,i}}
\\ &=&
\sum_{k=0}^{i}\left\{\left(\begin{ar...
...ray}\right)-\left(\begin{array}{c} 2m-1 \\ i-1 \end{array}\right)\end{eqnarray*}](img102.gif)
となることがわかる。特に、
の場合は、
となるので、結局 (21) は、
となり、(15) よりこれは
に等しいことがわかる。
竹野茂治@新潟工科大学
2009年7月27日