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4 互角の場合の符号無しゲーム差の平均

次に $F_n$ の方を考える。こちらは $E_n$ に比べてかなり厄介である。 (4) と同様に、
\begin{displaymath} F_n=F_n(p)=\sum_{k=0}^n\vert 2k-n\vert\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)p^kq^{n-k}\end{displaymath} (6)

であるが、絶対値を外すために、 $n$ が偶数の場合と奇数の場合に分けて考えることにする。 まず、$n=2m$ の場合は、
\begin{eqnarray*}F_{2m} &=& \sum_{k=0}^{2m}\vert 2k-2m\vert\left(\begin{array}... ...k-2m)\left(\begin{array}{c} 2m \\ k \end{array}\right)p^kq^{2m-k}\end{eqnarray*}


となるが、この後ろの和で $2m-k=j$ とすると
\begin{displaymath} 2k-2m=2(2m-j)-2m=2m-2j,\hspace{1zw} \left(\begin{array}{c} 2... ...rray}\right)=\left(\begin{array}{c} 2m \\ j \end{array}\right) \end{displaymath}

なので、
$\displaystyle F_{2m}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^{m-1}(2m-2k)\left(\begin{array}{c} 2m \\ k \end{array... ...{j=0}^{m-1}(2m-2j)\left(\begin{array}{c} 2m \\ j \end{array}\right)p^{2m-j}q^j$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^{m-1}(2m-2k)\left(\begin{array}{c} 2m \\ k \end{array}\right)(p^kq^{2m-k}+p^{2m-k}q^k)$ (7)

同様に、$n=2m+1$ の場合は、
$\displaystyle F_{2m+1}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^{2m+1}\vert 2k-2m-1\vert\left(\begin{array}{c} 2m+1 \\ k \end{array}\right)p^kq^{2m+1-k}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^{m}+\sum_{k=m+1}^{2m+1} = \sum_{k=0}^{m}+\sum_{j=0}^{m}\hspace{1zw}(2m+1-k=j)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^{m}(2m+1-2k)\left(\begin{array}{c} 2m+1 \\ k \end{array}\right)(p^kq^{2m+1-k}+p^{2m+1-k}q^k)$ (8)

となる。例えば、$p=1/2$ のときは、
$\displaystyle F_{2m}\left(\frac{1}{2}\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2^{2m-1}}\sum_{k=0}^{m-1}(2m-2k)\left(\begin{array}{c} 2m \\ k \end{array}\right),$ (9)
$\displaystyle F_{2m+1}\left(\frac{1}{2}\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2^{2m}}\sum_{k=0}^{m}(2m+1-2k)\left(\begin{array}{c} 2m+1 \\ k \end{array}\right)$ (10)

となるが、いくつか計算してみると、
\begin{eqnarray*}F_1\left(\frac{1}{2}\right) &=& 1,\\ F_2\left(\frac{1}{2}\rig... ...egin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array}\right)\right\} = \frac{15}{8}\end{eqnarray*}


のようになることがわかる。実は一般に次が言える。
$\displaystyle F_{2m}\left(\frac{1}{2}\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle F_{2m-1}\left(\frac{1}{2}\right),$ (11)
$\displaystyle F_{2m+1}\left(\frac{1}{2}\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{2m+1}{2m}F_{2m}\left(\frac{1}{2}\right)$ (12)

(12) は、5 節で より一般のものを示すから、ここでは (11) を示そう。 そのために、二項係数に成り立つ次の関係式を用いる。
\begin{displaymath} \left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)=\left(\beg... ...rray}{c} n-1 \\ k \end{array}\right)\hspace{1zw}(0\leq k\leq n)\end{displaymath} (13)

ただし、$k<0$ および $k>n$ のときは $\displaystyle \left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)=0$ とする。 これは、二項係数に関するパスカルの三角形の元となる関係式である。

(9) にこの (13) を用いると、

\begin{eqnarray*}\lefteqn{F_{2m}\left(\frac{1}{2}\right)} \\ &=& \frac{1}{2^{2... ...{m-1}(2m-1-2k)\left(\begin{array}{c} 2m-1 \\ k \end{array}\right)\end{eqnarray*}


となり、これは (10) により $F_{2m-1}(1/2)$ に等しいから (11) が言えたことになる。

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竹野茂治＠新潟工科大学
2009年7月27日