4 3 次方程式のカルダノの解法

まず 3 次方程式

$$x^3 - s_1 x^2 + s_2 x - s_3 = 0$$ (10)

を考える。そのカルダノの解法 (カルダノ＝タルタリヤの解法とも呼ばれる) に 現れる根号を $x_1,x_2,x_3$ の有理式として表すのが本稿の最初の目標である。

まず、カルダノの解法を復習する。(10) に

$$x = t+\frac{s_1}{3}$$ (11)

を代入することで、(10) を 2 次の項のない $t$ の 3 次方程式

$$t^3+A_2t+A_3 = 0$$ (12)

に書き直す。 (10) に (11) を代入すると、

	$${ \left(t+\frac{s_1}{3}\right)^3-s_1\left(t+\frac{s_1}{3}\right)^2 +s_2\left(t+\frac{s_1}{3}\right)-s_3}$$
		$=$	$$t^3+s_1t^2+\frac{s_1^2}{3}t+\frac{s_1^3}{27} -s_1\left(t^2+\frac{2}{3}s_1t+\frac{s_1^2}{9}\right) +s_2 t+\frac{1}{3}s_1s_2 - s_3$$
		$=$	$$t^3 +\left(-\frac{s_1^2}{3}+s_2\right) t -\frac{2}{27}s_1^3+\frac{1}{3}s_1s_2-s_3 = 0$$

となるので、(12) の係数 $A_j$ は

$$A_2 = -\frac{s_1^2}{3}+s_2,\hspace{1zw}A_3 = -\frac{2}{27}s_1^3+\frac{1}{3}s_1s_2-s_3$$ (13)

となる。 そして、(12) に $t=u+v$ を代入すると、

$$(u+v)^3+A_2(u+v)+A_3 = (u^3+v^3+A_3)+(3uv+A_2)(u+v) = 0$$ (14)

となるので、連立方程式

$$u^3+v^3 = -A_3,\hspace{1zw}uv = -\frac{A_2}{3}$$ (15)

を満たす $u,v$ を取れば (14) は満たされ、 よって $t=u+v$ は (12) の解となり、 (11) により解 $x$ が求まる、というのがカルダノの解法である。

連立方程式 (15) は、2 本目を 3 乗すれば

$$u^3+v^3 = -A_3,\hspace{1zw}u^3v^3 = -\frac{A_2^3}{27}$$

となり、よって $u^3,v^3$ は 2 次方程式

$$p^2+A_3p - \frac{A_2^3}{27} = 0$$ (16)

の解となり、それで $u^3,v^3$ の組 1 組が決まり (最終的には $u+v$ の形で使用するので $u^3,v^3$ を入れ替えるのは意味がない)、 そのそれぞれの 3 乗根である 3 つずつの $u,v$ のうち (15) の 2 本目を満たすものが求める $u,v$ となる。

具体的には、(16) の解は

$$p = \frac{-A_3\pm \sqrt{D_1}}{2}, \hspace{1zw}D_1 = A_3^2 + \frac{4}{27}A_2^3$$

となり、よって $u^3$ を

$$u^3 = \frac{-A_3+\sqrt{D_1}}{2}$$

ととれば、

$$u = \sqrt[3]{\frac{-A_3+\sqrt{D_1}}{2}}, \hspace{1zw}\omega\sqrt... ...{-A_3+\sqrt{D_1}}{2}}, \hspace{1zw}\omega^2\sqrt[3]{\frac{-A_3+\sqrt{D_1}}{2}}$$

の 3 つの 3 乗根が決まる。同様に $v$ も

$$v = \sqrt[3]{\frac{-A_3-\sqrt{D_1}}{2}}, \hspace{1zw}\omega\sqrt... ...{-A_3-\sqrt{D_1}}{2}}, \hspace{1zw}\omega^2\sqrt[3]{\frac{-A_3-\sqrt{D_1}}{2}}$$

となるのであるが、 このうち $uv=-A_2/3$ を満たす $v$ は各 $u$ に対して 1 つだけ、すなわち

$$v = -A_2/(3u)$$

で決まり、それにより $u,v$ が 3 組得られることになる。 今、

$$u = u_0 = \sqrt[3]{\frac{-A_3+\sqrt{D_1}}{2}}$$

に対して $v_0=-A_2/(3u_0)$ とすれば、$v_0$ は上の 3 つの $v$ の うちのひとつであり、また $(u_0,v_0)$ 以外の (15) の解 2 組は $(\omega u_0,\omega^2 v_0)$ と $(\omega^2 u_0,\omega v_0)$ となり、 よって (10) の解 $x$ は、

$$x_1 = u_0+v_0+\frac{s_1}{3}, \hspace{1zw}x_2 = \omega u_0+\omega^2 v_0+\frac{s_1}{3}, \hspace{1zw}x_3 = \omega^2 u_0+\omega v_0+\frac{s_1}{3}$$ (17)

と得られることになる。