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4.3 部分積分で次数を落とす方法

通常の本でよく取り上げられているのは、多分部分積分で次数を落とす方法 だろうと思われる。これを、前節と同じ

$$\int\frac{2t^2-3}{(t^2+1)^3}dt$$

を例に使いながら紹介する。

まず、分子の $t^2$ の $(n-1)$ 次式を $(t^2+1)$ の $(n-1)$ 次式に書き直して ($t^2+1=u$ として計算すれば良い)、$1/(t^2+1)$ の $n$ 次式の形に書き直す。

$$\frac{2t^2-3}{(t^2+1)^3} = \frac{2(u-1)-3}{u^3} = \frac{2}{u^2}-\frac{5}{u^3} = \frac{2}{(t^2+1)^2} -\frac{5}{(t^2+1)^3}$$

部分積分を用いて、 $1/(t^2+1)^{k+1}$ の積分を $1/(t^2+1)^k$ の積分に 帰着させる。 これは、通常

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{\int\frac{1}{(t^2+1)^k} dt = \int(t)'\frac{1}{(t^2+... ...k\int\frac{1}{(t^2+1)^k} dt -2k \int \frac{1}{(t^2+1)^{k+1}} dt \end{eqnarray*}$$

より、

$$(1-2k)\int\frac{1}{(t^2+1)^k} dt = \frac{t}{(t^2+1)^k} -2k \int \frac{1}{(t^2+1)^{k+1}} dt$$

すなわち、

$$\int \frac{1}{(t^2+1)^{k+1}} dt =\frac{t}{2k(t^2+1)^k}+\frac{2k-1}{2k}\int\frac{1}{(t^2+1)^k} dt$$ (4)

となる、といったように導かれることが多いようであるが、 これも 4.1 節同様、微分を使って説明することもできる。

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{\left\{\frac{t}{(t^2+1)^k}\right\}' = \left(t(t^2+1... ...k+1}}\\ & = & \frac{1-2k}{(t^2+1)^k} +\frac{2k}{(t^2+1)^{k+1}} \end{eqnarray*}$$

となるので、

$$\frac{1}{(t^2+1)^{k+1}} = \left\{\frac{t}{2k(t^2+1)^k}\right\}' + \frac{2k-1}{2k(t^2+1)^k}$$

この両辺を積分して (4) を得る。

今の例では、この公式を使うと ($k=2$)、

$$\int\frac{1}{(t^2+1)^3} dt = \frac{t}{4(t^2+1)^2} +\frac{3}{4}\int\frac{1}{(t^2+1)^2} dt$$

となるので、

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{\int\left\{\frac{2}{(t^2+1)^2} -\frac{5}{(t^2+1)^3}\... ...{7}{4}\int\frac{1}{(t^2+1)^2}dt - \frac{5}{4}\frac{t}{(t^2+1)^2} \end{eqnarray*}$$

であり、もう一度公式を使うと ($k=1$)、

$$\int\frac{1}{(t^2+1)^2} dt = \frac{t}{2(t^2+1)} +\frac{1}{2}... ...c{1}{t^2+1} dt = \frac{t}{2(t^2+1)} +\frac{1}{2}\tan^{-1}t + C$$

なので、結局

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \int\frac{2t^2-3}{(t^2+1)^3}dt = -\frac{7}{4}\int... ...7t}{8(t^2+1)} -\frac{7}{8}\tan^{-1}t - \frac{5t}{4(t^2+1)^2} + C \end{eqnarray*}$$

を得る。