2 巾乗と指数関数の積の積分
本節では、
と
の積の積分
![$\displaystyle
I_1(x; n, \alpha) = \int x^ne^{\alpha x}dx
\hspace{1zw}(n\geq 0: \mbox{ 整数},\ \alpha\neq 0)$](img3.png)
(
1)
を考える。まず、簡単な置換により、
この積分は
の場合に帰着できる。
により、
![$\displaystyle
I_1(x; n, \alpha)
= \int \left(\frac{t}{\alpha}\right)^ne^t\fr...
...
= \frac{1}{\alpha^{n+1}}I_1(t;n,1)
= \frac{1}{\alpha^{n+1}}I_1(\alpha x;n,1)$](img6.png)
(
2)
となるからである。よってとりあえず、
の場合を考える。
部分積分
![$\displaystyle
\int f'gdx = fg - \int fg'dx$](img7.png)
(
3)
により
は、
と
を一つ下げた積分に帰着でき、
これを繰り返すことで最終的に
に帰着でき、積分が終わる、というのが通常の大まかな方針である。
一方、(4) の式の両辺を
倍すれば、
となり、
![$\displaystyle
\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{(-1)^n}{n!}I_1(x;n,...
...-1)^0}{0!}I_1(x;0,1)
= e^x + C = \frac{(-1)^0}{0!}e^x + C
\end{array}\right.$](img17.png)
(
5)
と書けるので、この階差数列から、
![$\displaystyle
\frac{(-1)^n}{n!}I_1(x;n,1)
= \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}x^ke^x + C$](img18.png)
(
6)
という一般式が得られる。
この式の右辺は、
の
次のマクローリン展開式と、
との
積の形になっているが、それについては、5 節で
改めて紹介する。
また、(2) を考えれば、
となるので、
![$\displaystyle
\frac{(-\alpha)^n}{n!}I_1(x;n,\alpha)
= \frac{1}{\alpha}\sum_{k=0}^n \frac{(-\alpha)^k}{k!}x^ke^{\alpha x} + C$](img22.png)
(
7)
となっていることがわかる。
なお、(6) は、積の微分から得ることもできる。
今、
を
![$\displaystyle
f_1(x;n,\alpha)
= \frac{(-\alpha)^n}{n!}x^ne^{\alpha x}
= \frac{(-\alpha x)^n}{n!}e^{\alpha x}
\hspace{1zw}(= f_1(\alpha x;n,1))$](img24.png)
(
8)
とすると、
なので、
から
までの和に
を
追加すれば、
となって、これを積分すれば、
![$\displaystyle
\int f_1(x;n,1)dx = \sum_{k=0}^n f_1(x;k,1) + C$](img30.png)
(
9)
が得られる。
これが丁度 (6) になっている。
同様のことを
に行えば、以下のようになる。
なので、
となり、よって、これを積分すれば
![$\displaystyle
\int f_1(x;n,\alpha) dx = \frac{1}{\alpha} \sum_{k=0}^n f_1(x;k,\alpha) + C$](img33.png)
(
10)
が得られる。これが (7) である。
竹野茂治@新潟工科大学
2020-03-12