4 微分の公式の証明

無限小の方法を用いた場合、積の微分の公式の「証明」は以下のようになる。

$\begin{displaymath} d(fg) = f(x+dx)g(x+dx)-f(x)g(x) \end{displaymath}$

であり、

より

なので、

$\begin{eqnarray*}d(fg) &=& (f(x)+df)(g(x)+dg)-f(x)g(x) \\ &=& f(x)g(x)+f(x)dg+g(x)df+dfdg-f(x)g(x) \\ &=& f(x)dg+g(x)df+dfdg\end{eqnarray*}$

となるが、

は

より高位の無限小なので無視すれば、

$\begin{displaymath} d(fg) = f(x)dg+g(x)df \end{displaymath}$

となる。よって、

$\begin{displaymath} \frac{d(fg)}{dx} = f(x)\frac{dg}{dx}+g(x)\frac{df}{dx} \end{displaymath}$

となる、といった形になる。

この証明は、2 節の最後に上げた方法と本質的に同じであることがわかるだろう。しかも展開により自然に積の微分の形が得られていることや、最後のが消える理由も、むしろこちらの方がわかりやすく感じる人もいるかもしれない。

なお、であることに注意すれば、上の変形は、

$\begin{eqnarray*}d(fg) &=& (f(x)+f'(x)dx)(g(x)+g'(x)dx)-f(x)g(x) \\ &=& f(x... ...x+f'(x)g(x)dx + f'(x)g'(x)(dx)^2 \\ &=& (f(x)g'(x)+f'(x)g(x))dx\end{eqnarray*}$

のようにして (

は高位なので無視している)、両辺を

で割る、とすることもできる。

同様に、商の微分の公式も以下のようにできる。

$\begin{eqnarray*}d\left(\frac{f}{g}\right) &=& \frac{f(x+dx)}{g(x+dx)}-\frac{f... ...x)-f(x)dg}{g(x)(g(x)+dg)} = \frac{g(x)df-f(x)dg}{g(x)^2+g(x)dg}\end{eqnarray*}$