3 無限小と微分

無限小を用いる方法では、あまり厳密には見えない、 少し「怪しげ」な式変形も行われる。

まず、$dx$ を限りなく小さい $x$ の変化を表すものとして 「無限小」と呼ぶ。 そして、$dx$ に対する $y=f(x)$ の増分を $dy$ や $df$ のように書く。

$$dy = df = f(x+dx)-f(x)$$ (2)

$dy$ も「無限小」となる (そう考える)。 この $dy$ と $dx$ の比がグラフの傾きである導関数 $f'(x)$ を 表すのであるが、それは通常有限な値なので、 その点でこの $dy$ と $dx$ は同程度の小ささを持つ無限小であり、 「同位の無限小」と呼ぶ。

一方、$dx$ に対して $(dx)^2$ は、$dx$ よりも はるかに小さい無限小となるので「高位の無限小」と呼ぶ。

無限小を用いる方法では、 例えば $A\ (\neq 0)$, $B$ に対して、$I=Adx+B(dx)^2$ という式では、 $(dx)^2$ は $dx$ より高位の無限小であるから「無視できる」として、 $I=Adx$ のようにしたりする。 同様に、$I=A+Bdx$ という式も $I=A$ のようにすることがある (できる)。

そして $f'(x)$ を、この $dy$ と $dx$ の比であると定める:

$$f'(x) = \frac{dy}{dx}, \hspace{1zw}dy = f'(x)dx$$

この定義で、$f(x)=ax+b$ の導関数と、$f(x)=x^2$ の導関数を計算する。 まず、$f(x)=ax+b$ の場合、

$$df = f(x+dx)-f(x) = a(x+dx) + b - (ax + b) = adx$$

なので、

$$f'(x) = \frac{df}{dx} = \frac{adx}{dx} = a$$

と、簡単に割り算で得られることになる。また、$f(x)=x^2$ の場合は、

$$\begin{eqnarray*}df &=& f(x+dx)-f(x) = (x+dx)^2-x^2 = x^2+2xdx + (dx)^2 - x ^2 \\ &=& 2xdx + (dx)^2\end{eqnarray*}$$

となるが、上に書いたように $(dx)^2$ は $2xdx$ に比べて 高位の無限小なので無視すれば、$df = 2xdx$ となり、よって、

$$f'(x) = \frac{df}{dx} = \frac{2xdx}{dx} = 2x$$

となる。$x^3$ で同じことを行うと、$(dx)^2$, $(dx)^3$ が出てくるが、 それらも高位として無視すれば、割と易しく $(x^3)'=3x^2$ が得られる。