4 近似値の計算

(1) を用いて $c^\alpha$ の近似値の計算をしたい 場合は、さらに少し工夫が必要で、 (6) の $p^\alpha$ が容易に求まるような $p$ を 選ぶ必要があるし、(6) の $x/p$ も 0 に近い方が 精度はよくなる。

例えば、$\sqrt{7}$ の近似値を求める場合、

1. $$\sqrt{7}=\sqrt{4+3}=2\sqrt{1+\frac{3}{4}}$$, $3/4 = 0.75$
2. $$\sqrt{7}=\sqrt{9-2}=3\sqrt{1-\frac{2}{9}}$$, $2/9 = 0.22\ldots$
3. $$\sqrt{7}=\sqrt{\frac{28}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{25+3} =\frac{5}{2}\sqrt{1+\frac{3}{25}}$$, $3/25 = 0.12$

など、(1) に帰着させる変形は無数にあるが、 例えばこの中では 3. を使うのが精度は一番よい。例えば、2 次近似

$$(1+x)^{1/2} =\left(\!\!\begin{array}{c}1/2\\ 0\end{array}\!\!\rig... ...{c}1/2\\ 2\end{array}\!\!\right)x^2+\cdots =1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\cdots$$

を用いると、1. は、

$$\sqrt{7} \doteqdot 2\left(1+\frac{3}{8}-\frac{9}{128}\right) =2+\frac{3}{4}-\frac{9}{64} =2+0.75-0.140625 =2.609375$$

2. は、

$$\sqrt{7} \doteqdot 3\left(1-\frac{1}{9}-\frac{1}{162}\right) =3-\frac{1}{3}-\frac{1}{54} =3-\frac{19}{54} =2.648148\cdots$$

3. は、

$$\sqrt{7} \doteqdot \frac{5}{2}\left(1+\frac{3}{50}-\frac{9}{5000}\right) =\frac{5}{2}+\frac{15}{100}-\frac{45}{10000} =2.5+0.15-0.0045 =2.6455$$

となる。$\sqrt{7}$ の真値は $2.6457513\cdots$ なので、 3. が一番近いことがわかる。