1 はじめに

一般二項展開とは、$(1+x)^\alpha$ のマクローリン展開

$$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty\left(\!\!\begin{array}{c}\alp... ...ray}{c}\alpha\\ 2\end{array}\!\!\right)x^2+\cdots \hspace{1zw}(\vert x\vert<1)$$ (1)

のことである。ここで、この係数は

$$\left(\!\!\begin{array}{c}\alpha\\ n\end{array}\!\!\right)= \le... ...a-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} & (n\geq 1)\\ [1zh] 1 & (n=0) \end{array}\right.$$ (2)

であり、$\alpha$ が自然数なら ${}_{\alpha}C_{n}$ に一致する。

この (1) を用いると、$x^\alpha$ や $(x+p)^\alpha$ の テイラー展開を、微分を使わずにほぼすべて計算できる。

ただし、試験などで「テイラー展開を求めよ」や 「マクローリン展開を求めよ」という問題が出されたら、 それらの公式を正しく覚えていて使えるか、 ということを聞かれているのだろうから、 本稿のような計算をせずに定義通りに高階微分の計算をして 求めるべきである。