3 具体例

本節で、前節に述べたことの具体例をいくつか紹介する。

例 1

$\sqrt{x}$ の $x=4$ でのテイラー展開

$x-4=t$ とすると、

$$\sqrt{x} = \sqrt{t+4} = 2\sqrt{1+\frac{t}{2}} = 2\left(1+\frac{t}{2}\right)^{1/2}$$

なので、(1) より

$$\begin{eqnarray*}\sqrt{x} &=& 2\left\{\left(\!\!\begin{array}{c}1/2\\ 0\end{a... ...frac{1}{4}(x-4)-\frac{1}{32}(x-4)^2+\frac{1}{128}(x-4)^3+\cdots \end{eqnarray*}$$

となる。

例 2

$1/(x+5)^2$ の $x=-7$ でのテイラー展開

$x+7=t$ とすると、

$$\frac{1}{(x+5)^2} = \frac{1}{(t-2)^2} = \frac{1}{4(1-t/2)^2} = \frac{1}{4}\left(1-\frac{t}{2}\right)^{-2}$$

なので、(1) より

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\frac{1}{(x+5)^2}} \\ &=& \frac{1}{4}\left\{\left(\!... ...frac{1}{4}(x+7)+\frac{3}{16}(x+7)^2 +\frac{1}{8}(x+7)^3+\cdots \end{eqnarray*}$$

となる。