3 具体例

本節で、前節に述べたことの具体例をいくつか紹介する。


1

$\sqrt{x}$$x=4$ でのテイラー展開

$x-4=t$ とすると、

$\displaystyle \sqrt{x}
= \sqrt{t+4}
= 2\sqrt{1+\frac{t}{2}}
= 2\left(1+\frac{t}{2}\right)^{1/2}
$
なので、(1) より
\begin{eqnarray*}\sqrt{x}
&=&
2\left\{\left(\!\!\begin{array}{c}1/2\\ 0\end{a...
...frac{1}{4}(x-4)-\frac{1}{32}(x-4)^2+\frac{1}{128}(x-4)^3+\cdots
\end{eqnarray*}
となる。



2

$1/(x+5)^2$$x=-7$ でのテイラー展開

$x+7=t$ とすると、

$\displaystyle \frac{1}{(x+5)^2}
= \frac{1}{(t-2)^2}
= \frac{1}{4(1-t/2)^2}
= \frac{1}{4}\left(1-\frac{t}{2}\right)^{-2}
$
なので、(1) より
\begin{eqnarray*}\lefteqn{\frac{1}{(x+5)^2}}
\\ &=&
\frac{1}{4}\left\{\left(\!...
...frac{1}{4}(x+7)+\frac{3}{16}(x+7)^2
+\frac{1}{8}(x+7)^3+\cdots
\end{eqnarray*}
となる。


竹野茂治@新潟工科大学
2023-11-16