(PDF ファイル: system2.pdf)

3 3 点から合同アフィン変換を決定

私が聞いた、合同アフィン変換 (1) を決定する方法は 以下のような方法であった。

1. 空間内の 3 点 $P_1$, $P_2$, $P_3$ を、それらが三角形を作るように取る (一直線上には取らない)
2. それらのアフィン変換 (1) による像 $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ を 決め、そのようなアフィン変換を求める (具体的には回転行列 $A$ とベクトル $\mbox{\boldmath$b$}$ の成分を求める) ことを考える
3. 以下のようにベクトル $\mbox{\boldmath$x_1$}$, $\mbox{\boldmath$x_2$}$, $\mbox{\boldmath$x_3$}$ と $\mbox{\boldmath$y_1$}$, $\mbox{\boldmath$y_2$}$, $\mbox{\boldmath$y_3$}$ を決める
   
   $$\begin{array}{lll} \mbox{\boldmath$x_1$}=\vec{P_1P_2},& \m... ...\mbox{\boldmath$y_1$}\times \mbox{\boldmath$y_2$} \end{array}$$
   
   

4. すると、 $X=\matrixR{{x_1},{x_2},{x_3}}$, $Y=\matrixR{{y_1},{y_2},{y_3}}$ に対して
   
   $$Y=AX$$
   
   
   が成り立つので、両辺 $X^{-1}$ をかけて $A=YX^{-1}$ により $A$ が求まり、 $\mbox{\boldmath$b$}$ は式 (1) より
   
   $$\mbox{\boldmath$b$}=\mbox{\boldmath$q_1$}-A\mbox{\boldmath$p_1$}$$
   
   
   により求まる

方法は以上の通りであるが、しかしこれらの操作は 必ずしも自明ではない部分を含んでいる。

例えば $\mbox{\boldmath$x_1$}=\mbox{\boldmath$p_2$}-\mbox{\boldmath$p_1$}$, $\mbox{\boldmath$y_1$}=\mbox{\boldmath$q_2$}-\mbox{\boldmath$q_1$}$ より、

$$\mbox{\boldmath$y_1$} = \mbox{\boldmath$q_2$}-\mbox{\boldmat... ...boldmath$p_2$}-\mbox{\boldmath$p_1$}) = A\mbox{\boldmath$x_1$}$$

となり、同様にして $\mbox{\boldmath$y_2$}=A\mbox{\boldmath$x_2$}$ が成り立つことも分かるので $\mbox{\boldmath$y_3$}=A\mbox{\boldmath$x_3$}$ が成り立てば確かに $Y=AX$、すなわち

$$\matrixR{{y_1},{y_2},{y_3}} =A\matrixR{{x_1},{x_2},{x_3}}$$

となるが、この $\mbox{\boldmath$y_3$}=A\mbox{\boldmath$x_3$}$、すなわち $(A\mbox{\boldmath$x_1$})\times (A\mbox{\boldmath$x_2$}) = A (\mbox{\boldmath$x_1$}\times \mbox{\boldmath$x_2$})$ は明らかではないし、例えば一般の行列 $A$ に対して成り立つ式ではない。

しかし、これは $A$ が回転行列の場合は成立する。

定理 1

$A$ が直交行列で、$\vert A\vert=1$ の場合、 $\mbox{\boldmath$y_1$}=A\mbox{\boldmath$x_1$}$, $\mbox{\boldmath$y_2$}=A\mbox{\boldmath$x_2$}$ に対して

$$\mbox{\boldmath$y_1$}\times\mbox{\boldmath$y_2$} =(A\mbox{... ...th$x_2$})=A(\mbox{\boldmath$x_1$}\times\mbox{\boldmath$x_2$})$$

が成立する。

証明

$A$ が直交行列、すなわち $A^TA=E$ である場合、 $A=\matrixR{{a_1},{a_2},{a_3}}$ の $a_j$ は互いに直交する単位ベクトルとなる。 また、$\vert A\vert=1$ より $\mbox{\boldmath$a_1$}$, $\mbox{\boldmath$a_2$}$, $\mbox{\boldmath$a_3$}$ はこの順に右手系となる。よって、以下が成り立つ。

$$\begin{array}{lll} \mbox{\boldmath$a_1$}\times\mbox{\boldm... ...$}\times\mbox{\boldmath$a_3$}=\mbox{\boldmath$0$} \end{array}$$

となる。

今、 $\mbox{\boldmath$x_j$}$ の各成分を $\mbox{\boldmath$x_j$}=(x^j_1,x^j_2,x^j_3)^T$ $(j=1,2)$ と書くことにすると、

$$\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$y_j$} & = & A\mbox{\boldmath$x_j$} = \matrixR... ...a_1$} + x^j_2\mbox{\boldmath$a_2$} + x^j_3\mbox{\boldmath$a_3$} \end{eqnarray*}$$

となるので、

$$\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$y_1$}\times\mbox{\boldmath$y_2$} & = & (A\mbox... ...}\\ & = & A(\mbox{\boldmath$x_1$}\times\mbox{\boldmath$x_2$}) \end{eqnarray*}$$

となる。

$A$ が求まれば、そこから平行移動成分 $\mbox{\boldmath$b$}$ を求めるのは易しい。