4 標準形への変形

本節で、実正規行列 $A$ を標準形 (6) に変形する 直交行列 $Q$ を実際に構成する。

$A$ の固有値 (5) に対し、定理 2.2 により、

  $$U^{\ast}AU = \left[\begin{array}{cccccccc}% \mu_1+i\nu_1 &&&&&&... ...lumn{2}{c}{\raisebox{0ex}{\smash{\Huge$0$}}}&&&&&& \xi_{n-2k}\end{array}\right]$$ (8)

とするようなユニタリ行列 $U$ が存在する。 このとき $U$ の列ベクトルを

  $$U=[\mbox{\boldmath$\alpha$}_1\ \mbox{\boldmath$\beta$}_1\ \cdots... ...eta$}_k \ \mbox{\boldmath$\gamma$}_1\ \cdots\ \mbox{\boldmath$\gamma$}_{n-2k}]$$ (9)

とすると、これらは $A$ の単位固有ベクトルで、 $\mbox{\boldmath$C$}^n$ の正規直交基底を成し、

  $$\begin{array}{l} A\mbox{\boldmath$\alpha$}_j=(\mu_j+i\nu_j)\mbo... ...th$\gamma$}_m \\ \hspace{1zw}(1\leq j\leq k,\ 1\leq m\leq n-2k) \end{array}$$ (10)

を満たす。よって、補題 3.1 と $A^{\ast}=\,{}^t\!{A}$ より、次がいえる。

  $$\,{}^t\!{A}\mbox{\boldmath$\alpha$}_j=(\mu_j-i\nu_j)\mbox{\boldm... ...space{1zw}\,{}^t\!{A}\mbox{\boldmath$\gamma$}_m=\xi_m\mbox{\boldmath$\gamma$}_m$$ (11)

これに対し、まずは複素ベクトル $\mbox{\boldmath$\gamma$}_m$ の 実ベクトルへの取り替えから考える。 固有値 $\xi_1\sim\xi_{n-2k}$ のうち、 $r$ 重解を $\xi_{m_1}=\xi_{m_r}(=\sigma)$ とするとき、 その複素固有ベクトル $\mbox{\boldmath$\gamma$}_{m_1},\ldots\mbox{\boldmath$\gamma$}_{m_r}$ は 互いに直交するので線形独立で、その固有値 $\sigma$ に対する固有空間

$$Z_C(A-\sigma E)=\{\mbox{\boldmath$z$}\in\mbox{\boldmath$C$}^n\,\vert\, (A-\sigma E)\mbox{\boldmath$z$}=\mbox{\boldmath$0$}\}$$

はそれらを含むため、 $Z_C(A-\sigma E)$ の次元は $r$ 以上となるが、 その次元は $Z_R(A-\sigma E)$ に等しい ([1] の補題 4.1) のでその次元も $r$ 以上であり、 $Z_R(A-\sigma E)$ から $r$ 個の直交する 実単位固有ベクトル $\mbox{\boldmath$u$}_{m_1},\ldots\mbox{\boldmath$u$}_{m_r}$ を 取ることができる。 これを実固有値 $\xi_1\sim\xi_{n-2k}$ すべてに対して行えば、 単位ベクトルの実固有ベクトル列 $\mbox{\boldmath$u$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$u$}_{n-2k}\in\mbox{\boldmath$R$}^n$ を取ることができる。 同じ固有空間内では直交するものを取ったが、 異なる固有値に対する $\mbox{\boldmath$u$}_m$ 同士が直交することも、 次のようにして示される。

$\xi_m\neq\xi_\ell$ のとき、(10), (11) より

$$(A\mbox{\boldmath$u$}_m,\mbox{\boldmath$u$}_\ell)=\xi_m(\mbox{\bo... ...x{\boldmath$u$}_\ell)=\xi_\ell(\mbox{\boldmath$u$}_m,\mbox{\boldmath$u$}_\ell)$$

なので、 $(\xi_m-\xi_\ell)(\mbox{\boldmath$u$}_m,\mbox{\boldmath$u$}_\ell)=0$ となり、 $\xi_m\neq\xi_\ell$ より $\mbox{\boldmath$u$}_m\perp\mbox{\boldmath$u$}_\ell$ が得られる。 よって $\mbox{\boldmath$u$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$u$}_{n-2k}$ は互いに直交する 実単位ベクトルとなる。

次は、 $\mbox{\boldmath$\alpha$}_j=\mbox{\boldmath$a$}_j+i\mbox{\boldmath$b$}_j$ $(1\leq j\leq k)$ と するとき、 $\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_j,\mbox{\boldmath$u$}_m$ の直交性等を示す。

$$\begin{array}{ll} (\mu_j+i\nu_j)\mbox{\boldmath$\alpha$}_j &= (... ...ath$b$}_j)+i(\mu_j\mbox{\boldmath$b$}_j-\nu_j\mbox{\boldmath$a$}_j) \end{array}$$

より、(10), (11) を実部、虚部に分けると、

  $$\left\{\begin{array}{ll} A\mbox{\boldmath$a$}_j & = \mu_j\mbox{... ...^t\!{A}\mbox{\boldmath$u$}_m & = \xi_m\mbox{\boldmath$u$}_m \end{array}\right.$$ (12)

となる。 さらに、 $\mbox{\boldmath$\alpha$}_j$ ($1\leq j\leq k$) は $\mbox{\boldmath$C$}^n$ で 互いに直交する単位ベクトルなので、

$$\langle{\mbox{\boldmath$\alpha$}_j,\mbox{\boldmath$\alpha$}_\ell}... ...j,\mbox{\boldmath$a$}_\ell)-(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_\ell)\}$$

より、

  $$\left\{\begin{array}{l} (\mbox{\boldmath$b$}_j,\mbox{\boldmath$... ...rt\mbox{\boldmath$b$}_j\vert^2=1\hspace{1zw}(1\leq j\leq k) \end{array}\right.$$ (13)

となる。

補題 4.1

1. $\vert\mbox{\boldmath$a$}_j\vert=\vert\mbox{\boldmath$b$}_j\vert=1/\sqrt{2}$ ($1\leq j\leq k$)
2. $\mbox{\boldmath$a$}_j\perp\mbox{\boldmath$b$}_j$ ($1\leq j\leq k$)
3. $j\neq\ell$ に対し、 $\mbox{\boldmath$a$}_j\perp\mbox{\boldmath$a$}_\ell$, $\mbox{\boldmath$b$}_j\perp\mbox{\boldmath$b$}_\ell$, $\mbox{\boldmath$a$}_j\perp\mbox{\boldmath$b$}_\ell$
4. $\mbox{\boldmath$a$}_j\perp\mbox{\boldmath$u$}_m$, $\mbox{\boldmath$b$}_j\perp\mbox{\boldmath$u$}_m$ ($1\leq j\leq k$, $1\leq m\leq n-2k$)

証明

1. $(A\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$y$})=(\mbox{\boldmath$x$},\,{}^t\!{A}\mbox{\boldmath$y$})$、 および (12) より、

$$\begin{eqnarray*}(A\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_j) &=& (\mu_j\mbo... ...j,\mbox{\boldmath$b$}_j)-\nu_j\vert\mbox{\boldmath$a$}_j\vert^2 \end{eqnarray*}$$

となるので、 $\nu_j\vert\mbox{\boldmath$a$}_j\vert^2=\nu_j\vert\mbox{\boldmath$b$}_j\vert^2$ がわかり、 $\nu_j>0$ より $\vert\mbox{\boldmath$a$}_j\vert=\vert\mbox{\boldmath$b$}_j\vert$ となり、 (13) より、 $\vert\mbox{\boldmath$a$}_j\vert=\vert\mbox{\boldmath$b$}_j\vert=1/\sqrt{2}$ が 得られる。

2. (12) より、

$$\begin{eqnarray*}(A\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$a$}_j) &=& (\mu_j\mbo... ...a$}_j\vert^2+\nu_j(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_j) \end{eqnarray*}$$

となり、よって $2\nu_j(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_j)=0$ だから $\nu_j>0$ より $\mbox{\boldmath$a$}_j\perp\mbox{\boldmath$b$}_j$ となる。

3. $j\neq\ell$ に対し、(12)、(13) より、

$$\begin{eqnarray*}(A\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_\ell) &=& (\mu_j\... ..._\ell)-\nu_\ell(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$a$}_\ell) \end{eqnarray*}$$

となり、

  $$(\mu_j-\mu_\ell)(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_\ell) +(\nu_j+\nu_\ell)(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$a$}_\ell)=0$$ (14)

が得られる。(14) で $j$ と $\ell$ を入れ替えて (13) を用いると、

  $$(\mu_\ell-\mu_j)(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_\ell) +(\nu_j+\nu_\ell)(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$a$}_\ell)=0$$ (15)

となるから、(14), (15) より $2(\nu_j+\nu_\ell)(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$a$}_\ell)=0$ となり、 $\nu_j+\nu_\ell>0$ より

  $$(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$a$}_\ell)=0$$ (16)

よって $\mbox{\boldmath$a$}_j\perp\mbox{\boldmath$a$}_\ell$ が得られる。 さらに、(13) と (16) より

  $$(\mbox{\boldmath$b$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_\ell)=0$$ (17)

となり $\mbox{\boldmath$b$}_j\perp\mbox{\boldmath$b$}_\ell$ が得られる。 なお、(14), (16) から

$$(\mu_j-\mu_\ell)(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_\ell) = 0$$

となるが、 $\mu_\ell\neq\mu_j$ とは限らないので、 ここから $\mbox{\boldmath$a$}_j\perp\mbox{\boldmath$b$}_\ell$ は得られないことに注意する。 次は $(A\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$a$}_\ell)$ を計算する。 $j\neq\ell$, (12)、(13)、 および (16) より、

$$\begin{eqnarray*}(A\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$a$}_\ell) &=& (\mu_j\... ...\ =\ \nu_\ell(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_\ell) \end{eqnarray*}$$

となり、 $(\nu_j+\nu_\ell)(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_\ell)=0$ なので、 $\mbox{\boldmath$a$}_j\perp\mbox{\boldmath$b$}_\ell$ が得られる。

4. (12) より

$$\begin{eqnarray*}(A\mbox{\boldmath$b$}_j,\mbox{\boldmath$u$}_m) &=& (\mu_j\mbo... ...}_m) \ =\ \xi_m(\mbox{\boldmath$b$}_j,\mbox{\boldmath$u$}_m) \end{eqnarray*}$$

となり、よって

  $$(\mu_j-\xi_m)(\mbox{\boldmath$b$}_j,\mbox{\boldmath$u$}_m) + \nu_j(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$u$}_m)=0$$ (18)

となる。また、

$$\begin{eqnarray*}(A\mbox{\boldmath$u$}_m,\mbox{\boldmath$b$}_j) &=& \xi_m(\mbo... ...ath$b$}_j) - \nu_j(\mbox{\boldmath$u$}_m,\mbox{\boldmath$a$}_j) \end{eqnarray*}$$

より

  $$(\xi_m-\mu_j)(\mbox{\boldmath$b$}_j,\mbox{\boldmath$u$}_m) + \nu_j(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$u$}_m)=0$$ (19)

となるので、(18), (19) より $2\nu_j(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$u$}_m)=0$ となり、$\nu_j>0$ より

  $$(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$u$}_m)=0$$ (20)

よって $\mbox{\boldmath$a$}_j\perp\mbox{\boldmath$u$}_m$ が得られる。 また、(12), (20) より、

$$\begin{eqnarray*}(A\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$u$}_m) &=& (\mu_j\mbo... ... \xi_m(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$u$}_m) \ =\ 0 \end{eqnarray*}$$

となり、 $\nu_j(\mbox{\boldmath$b$}_j,\mbox{\boldmath$u$}_m)=0$, よって $\nu_j>0$ より $\mbox{\boldmath$b$}_j\perp\mbox{\boldmath$u$}_m$ が得られる。

$\mbox{\boldmath$\hat{a}$}_j=\sqrt{2}\,\mbox{\boldmath$a$}_j$, $\mbox{\boldmath$\hat{b}$}_j=\sqrt{2}\,\mbox{\boldmath$b$}_j$ とすると、 この補題 4.1 により

$$\mbox{\boldmath$\hat{a}$}_j,\ \mbox{\boldmath$\hat{b}$}_j,\ \mbox{\boldmath$u$}_m \hspace{1zw}(1\leq j\leq k,\ 1\leq m\leq n-2k)$$

は $\mbox{\boldmath$R$}^n$ の正規直交基底となり、

$$Q = [\mbox{\boldmath$\hat{a}$}_1\ \mbox{\boldmath$\hat{b}$}_1\ \c... ...dmath$\hat{b}$}_k \ \mbox{\boldmath$u$}_1\ \cdots\ \mbox{\boldmath$u$}_{n-2k}]$$

は直交行列で、

$$A\mbox{\boldmath$\hat{a}$}_j = \mu_j\mbox{\boldmath$\hat{a}$}_j-\... ...h$\hat{a}$}_j, \hspace{1zw}A\mbox{\boldmath$u$}_m = \xi_m\mbox{\boldmath$u$}_m$$

より、(6) の $S_1$ に対し $AQ=QS_1$ が 成り立つことがわかる。

これで、$U$ を元に実正規行列を標準形に直す直交行列 $Q$ が 構成できたことになる。