Next: 3 Mathematica Up: 積、商、合成関数等のテイラー展開について Previous: 1 はじめに (PDF ��: taylor2.pdf)

2 手計算

まず、良く知られているように

の近くでは

$\begin{displaymath} \cos(x) = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+O(x^6) \end{displaymath}$

(1)

である (

は

次以上の項を表す) ので、

$\begin{displaymath} \cos(at) = 1-\frac{a^2}{2}t^2+\frac{a^4}{24}t^4+O(t^6) \end{displaymath}$

(2)

となる ( $t\rightarrow 0$ のとき $at\rightarrow 0$ なので (1) にそのまま

を代入してよい)。

また、

$\begin{displaymath} \mathop{\rm sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)} = \frac{2}{e^x+e^{-x}} \end{displaymath}$

であり、良く知られているように

$\begin{displaymath} e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + O(x^6) \end{displaymath}$

なので

$\begin{eqnarray*} e^x + e^{-x} & = & 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac... ...& = & 2\left(1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + O(x^6)\right) \end{eqnarray*}$

となり、よって

$\begin{displaymath} \mathop{\rm sech}(x) = \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + O(x^6)} \end{displaymath}$

となる。

ここで、良く知られているように

$\begin{displaymath} \frac{1}{1+x} = 1-x+x^2+O(x^3) \end{displaymath}$

(3)

であり、 $x\rightarrow 0$ のとき

$\begin{displaymath} \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + O(x^6)\rightarrow 0 \end{displaymath}$

なので、この (3) の

の代わりにこの項を代入することが出来て、

$\begin{eqnarray*} \mathop{\rm sech}(x) & = & \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{x... ...t(\left(\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + O(x^6)\right)^3\right) \end{eqnarray*}$

となる。ここで、3 番目の項は展開すれば分かるが

$\begin{displaymath} \left(\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + O(x^6)\right)^2 = \left(\frac{x^2}{2}\right)^2 + O(x^6) = \frac{x^4}{4} + O(x^6) \end{displaymath}$

であり、4 番目の項も明らかに

$\begin{displaymath} O\left(\left(\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + O(x^6)\right)^3\right) = O(x^6) \end{displaymath}$

となるので、結局

$\begin{displaymath} \mathop{\rm sech}(x) = 1-\frac{x^2}{2} + \left(-\frac{1}{24}... ...ight)x^4 + O(x^6) = 1-\frac{x^2}{2} + \frac{5}{24}x^4 + O(x^6) \end{displaymath}$

であることがわかり、よって

$\begin{displaymath} \mathop{\rm sech}(bt) = 1-\frac{b^2}{2}t^2 + \frac{5b^4}{24}t^4 + O(t^6) \end{displaymath}$

(4)

となる。

故に、(2), (4) により

$\begin{eqnarray*} f(t) & = & \cos(at)\mathop{\rm sech}(bt)\\ & = & \left(1-\f... ...rac{a^4}{24}+\frac{a^2b^2}{4}+\frac{5b^4}{24}\right)t^4 + O(t^6) \end{eqnarray*}$

となる。

以上の計算方法は、いずれも形式的な計算にも見えるが、実際にはいずれも正当づけられる方法である。

これを、テイラー展開の定義に戻って , , , $f^{(4)}(0)$ を計算する、というやりかたで求めようとすると、高階の導関数の計算がかなり難しくむしろ計算ミスを犯しやすくなるので、今のようにする方がよいと思われる。

Next: 3 Mathematica Up: 積、商、合成関数等のテイラー展開について Previous: 1 はじめに

Shigeharu TAKENO
2002年 7月 30日