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1 はじめに

例年基礎数理 I では、テイラー展開は

$\begin{eqnarray*} f(x) & = & \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + O(... ...+ \cdots + \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1} + O((x-a)^n) \end{eqnarray*}$

であると講義しているが、その収束性の話 (収束半径、収束判別法) や、積、商、合成関数等のテイラー展開については時間がないためにほとんど行なっていないし、教科書にもあまり書いてない (多少は書いてある教科書を使ったこともある)。

よって、常に上の公式で計算しようとすると、特に積、商、合成関数等の場合は計算が大変になる。ここでは、

$\begin{displaymath} f(t)=\cos(at)\mathop{\rm sech}(bt) \end{displaymath}$

を例に取り、そのマクローリン展開 (中心 0 での展開) の 5 次までの展開式を求めることによりその方法を紹介し、最後に数式処理ソフトの Mathematica による計算例と比較してみることにする。

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Shigeharu TAKENO
2002年 7月 30日