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3 2001 年基礎数理 I

前節の方法は厳密性はあるが、証明は必ずしも学生にとって簡単ではなく、そこで説明 (理解) の流れが切れてしまい、必ずしも近似による説明がうまくいったとは思えない。

よって今年はそのような証明は捨て、ロピタルの定理を全面に出してそれにより近似式を逐次作成する、という方法を取ってみた。

のの近くでのの値は、での接線

$\begin{displaymath} y-f(a)=f'(a)(x-a) \end{displaymath}$

で近似できる。すなわち、

$\begin{displaymath} f(x) \approx f(a)+f'(a)(x-a) \mbox{\ \ ($x\approx a$\ のとき)}\end{displaymath}$

(8)

であることになる。右辺は

の 1 次式なので、これは

の 1 次近似式である と呼ばれる。

$\begin{displaymath} f(x) \approx f(a) \mbox{\ \ ($x\approx a$\ のとき)}\end{displaymath}$

(9)

が 0 次近似式である。

もちろん、0 次近似より 1 次近似式の方が誤差が少なく近似が良い。 2 次、3 次の方が更に誤差が少なくなる。その 2 次、3 次の近似式をロピタルの定理を用いて求めてみる。

以下簡単のためとする。

まずは、0 次近似式の誤差を考えて 1 次近似式を得ることを考えてみる。
のとき、(9) の誤差はであり、これはもちろん $x\rightarrow 0$ のときに 0 に収束するが、これと自身とを比較してみると

$\begin{displaymath} \frac{f(x)-f(0)}{x} \end{displaymath}$

は分子、分母ともに 0 に収束するので、ロピタルの定理により

$\begin{displaymath} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{1}=f'(0) \end{displaymath}$

となる。つまり、これは

$\begin{displaymath} f(x)-f(0) \approx f'(0)x \mbox{\ \ ($x\approx 0$\ のとき)} \end{displaymath}$

であることを意味する。このを右辺に移項したものが (8) である。
次は 1 次近似式の誤差を調べてみる。と比較するとロピタルの定理により

$\begin{displaymath} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)-f'(0)x}{x} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{1}=0 \end{displaymath}$

となるので、よりずっと小さい (当前でもある)。と比較してみると

$\begin{displaymath} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)-f'(0)x}{x^2} =\lim_{x\r... ...}{2x} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f''(x)}{2} =\frac{f''(0)}{2} \end{displaymath}$

となる。これは

$\begin{displaymath} f(x)-f(0)-f'(0)x \approx \frac{f''(0)}{2}x^2 \mbox{\ \ ($x\approx 0$\ のとき)} \end{displaymath}$

を意味する。これにより 2 次近似式

$\begin{displaymath} f(x)\approx f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2 \mbox{\ \ ($x\approx 0$\ のとき)} \end{displaymath}$

が得られる。
同様に、この式の誤差

$\begin{displaymath} f(x)-f(0)-f'(0)x-\frac{f''(0)}{2}x^2 \end{displaymath}$

をと比較することで

$\begin{eqnarray*}&& \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\displaystyle f(x)-f(0)-f'(0)x-\f... ...阿鯑世覿妨造侶彁擦$f$\ を $f'$\ としたものを 3 で割ったもの)}\end{eqnarray*}$

が得られる。これにより 3 次近似式

$\begin{displaymath} f(x)\approx f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+\frac{f'''(0)}{6}x^3 \mbox{\ \ ($x\approx 0$\ のとき)} \end{displaymath}$

が得られるが、これを繰り返すことでテイラー展開 (マクローリン展開)

$\begin{displaymath} f(x)\approx f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots \mbox{\ \ ($x\approx 0$\ のとき)} \end{displaymath}$

が得られる。

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Shigeharu TAKENO
2001年 9月 14日