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2 2000 年基礎数理 II

この年の基礎数理 II では、ロピタルの定理と「

次近似」を使って説明した。まず最初に考えた説明は以下の通りである:

が無限級数

$\begin{displaymath} f(x)=A_0+A_1(x-a)+A_2(x-a)^2++A_3(x-a)^3+A_4(x-a)^4+\cdots \end{displaymath}$

(2)

と展開されたとする。(2) にを代入すると

$\begin{displaymath} f(a)=A_0+0+0+0+0+\cdots \ \ \Rightarrow \ \ A_0 = f(a) \end{displaymath}$

(2) の両辺を微分すると

$\begin{displaymath} f'(x)=A_1+2A_2(x-a)+3A_3(x-a)^2+4A_4(x-a)^3+\cdots \end{displaymath}$

これにを代入すると

$\begin{displaymath} f'(a)=A_1+0+0+0+\cdots \ \ \Rightarrow \ \ A_1 = f'(a) \end{displaymath}$

もう一回微分して

$\begin{displaymath} f''(x)=2\cdot 1A_2+3\cdot 2A_3(x-a)+4\cdot 3A_4(x-a)^2+\cdots \end{displaymath}$

これにを代入すると

$\begin{displaymath} f''(a)=2\cdot 1A_2+0+0+\cdots \ \ \Rightarrow \ \ A_2 = \frac{f''(a)}{2\cdot 1} \end{displaymath}$

同様に微分してを代入する。

$\begin{eqnarray*}&& f'''(x)=3\cdot 2\cdot 1 A_3+4\cdot 3\cdot 2 A_4(x-a)+\cdots ... ...ots \ \ \Rightarrow \ \ A_3 = \frac{f'''(a)}{3\cdot 2\cdot 1} \end{eqnarray*}$

これを繰り返すことで

$\begin{displaymath} A_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!} \end{displaymath}$

が得られる。

ただし、これではあまりに理論がなさ過ぎ、そもそも (2) と置く (展開する) ことの意味が分からない。

そこで、この年は「次近似」を次のように定義して、ロピタルの定理を使って説明を行った。なお、以下簡単のため、すなわちマクローリン展開を考えることとする。

定義 1

関数に対してが

$\begin{displaymath} \frac{f(x)-g(x)}{x^n}\rightarrow 0 \mbox{\ \ ($x\rightarrow 0$\ のとき)} \end{displaymath}$

(3)

となるとき、

は

を (

で) 次に近似する、または 次近似である と呼ぶことにする。

(3) は

はより速く 0 に近づく

ことを意味し、すなわち

はより 0 に近い

ことになる。 (注: これを

と書くこともある)

定理 2

, : 回微分可能で、 $f^{(n)}$ , $g^{(n)}$ が連続であるとき、

$\begin{displaymath} \mbox{$g$\ が $f$\ の $n$\ 次近似} \ \ \Leftrightarrow \ \ f^{(k)}(0)=g^{(k)}(0)\ (k=0,1,2,\ldots,n) \end{displaymath}$

証明

として証明する。

( $\Rightarrow$ )

$\begin{displaymath} \frac{f(x)-g(x)}{x^2}\rightarrow 0 \mbox{\ \ ($x\rightarrow 0$\ のとき)} \end{displaymath}$

(4)

と仮定する。

(4) より

$\begin{displaymath} f(x)-g(x)=x^2 \frac{f(x)-g(x)}{x^2}\rightarrow 0\mbox{\ \ ($x\rightarrow 0$\ のとき)} \end{displaymath}$

となるが、, の連続性により左辺は

$\begin{displaymath} f(x)-g(x)\rightarrow f(0)-g(0)\mbox{\ \ ($x\rightarrow 0$\ のとき)} \end{displaymath}$

となるので、よって

$\begin{displaymath} f(0)-g(0)=0 \end{displaymath}$ (5)

となる。
(4) より

$\begin{displaymath} \frac{f(x)-g(x)}{x}=x \frac{f(x)-g(x)}{x^2}\rightarrow 0\mbox{\ \ ($x\rightarrow 0$\ のとき)} \end{displaymath}$

となるが、一方で (5) によりこの左辺は分子も分母も 0 に収束する不定形であり、

$\begin{displaymath} \frac{\{f(x)-g(x)\}'}{(x)'}=\frac{f'(x)-g'(x)}{1}\rightarrow f'(0)-g'(0) \mbox{\ \ ($x\rightarrow 0$\ のとき)} \end{displaymath}$

となることが , の連続性によりいえる。よって、ロピタルの定理により

$\begin{displaymath} f'(0)-g'(0)=0 \end{displaymath}$ (6)

となる。
(4) の左辺は (5) により不定形であり、

$\begin{displaymath} \frac{\{f(x)-g(x)\}'}{(x^2)'}=\frac{f'(x)-g'(x)}{2x} \end{displaymath}$

も、(6) により不定形となる。そして、

$\begin{displaymath} \frac{\{f'(x)-g'(x)\}'}{(2x)'}=\frac{f''(x)-g''(x)}{2}\righ... ... \frac{f''(0)-g''(0)}{2}\mbox{\ \ ($x\rightarrow 0$\ のとき)} \end{displaymath}$

となることが、, の連続性によりいえ、よってロピタルの定理により

$\begin{displaymath} \frac{f''(0)-g''(0)}{2}=0 \end{displaymath}$

すなわち

$\begin{displaymath} f''(0)-g'((0)=0 \end{displaymath}$ (7)

が成り立つ。

以上 1., 2., 3. の (5),(6),(7), により

$\begin{displaymath} f(0)=g(0), \ f'(0)=g'(0), \ f''(0)=g''(0) \end{displaymath}$

となる。

( $\Longleftarrow$ )

逆に

$\begin{displaymath} f(0)=g(0), \ f'(0)=g'(0), \ f''(0)=g''(0) \end{displaymath}$

が成り立つとすると、ロピタルの定理により

$\begin{displaymath} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-g(x)}{x^2} =\lim_{x\righta... ...g'(x)}{2x} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f''(x)-g''(x)}{2} =0 \end{displaymath}$

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Shigeharu TAKENO
2001年 9月 14日