5.2 関数方程式

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5.2 関数方程式

3.1 節の、大まかな形から導くという話にやや関連した話であるが、例えば、すべての実数

に対して

$\begin{displaymath} f(x+y)=f(x)\cos y+f(y)\cos x \end{displaymath}$

を満たす関数

を求める、といったような問題を関数方程式という。この関数方程式の場合、

は微分可能である、といった条件がつけばそのような

は

$\begin{displaymath} f(x)=(定数)\times\sin x \end{displaymath}$

の形になることがいえてしまう。どうしてそうなるのか考えてみるといいだろう。

同様に、

$\begin{displaymath} g(x+y)=g(x)g(y)-\sin x\sin y \end{displaymath}$

を満たす

を求めることもできるが、この方程式はやや難しい (大学レベル)。さらに連立の関数方程式

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{lll} f(x+y) & = & f(x)g(y)+g(x)f(y)\\ g(x+y) & = & g(x)g(y)-f(x)f(y) \end{array} \right. \end{displaymath}$

を満たす

を求める、という問題も考えられるが、これは実は

$\begin{displaymath} f(x)=\sin ax,\hspace{1zw}g(x)=\cos ax\hspace{1zw}(\mbox{$a$\ は定数}) \end{displaymath}$

だけが解ではない。この 2 つの問題はいずれも「微分方程式」を勉強すれば解くことができる (多分)。

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Shigeharu TAKENO
2003年 3月 4日