3.1 おおまかな式から作る方法

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3.1 おおまかな式から作る方法

これは、

$\begin{displaymath} \sin (\theta + 90^\circ) = \cos\theta,\hspace{1zw} \cos (\theta + 90^\circ) = -\sin\theta \end{displaymath}$

(3)

と、sin, cos の $0^\circ$ , $90^\circ$ での値を利用する方法である。

まず、 $\sin(x+y)$ , $\cos(x+y)$ はいずれも

$\begin{displaymath} \mbox{$\sin x$, $\cos x$\ に関する一次式\ (もちろん $\sin y$, $\cos y$\ に関しても)} \end{displaymath}$

(4)

であるという性質がある。よってそれを覚えておいて

$\begin{displaymath} \sin(x+y) = A\sin x + B\cos x,\hspace{1zw} \cos(x+y) = C\sin x + D\cos x \end{displaymath}$

(5)

のように大まかに書くと、この

は

の式であり、これらを求める。今、(5) に $x=0^\circ$ を代入すると

$\begin{displaymath} \sin y = A\sin 0^\circ + B\cos 0^\circ = B,\hspace{1zw} \cos y = C\sin 0^\circ + D\cos 0^\circ = D \end{displaymath}$

となるので $B=\sin y$ , $D=\cos y$ と求まり、 (5) に $x=90^\circ$ を代入すると

$\begin{eqnarray*} \sin (90^\circ + y) &= & \cos y= A\sin 90^\circ + B\cos 90^\c... ...(90^\circ + y) &=& -\sin y = C\sin 90^\circ + D\cos 90^\circ = C \end{eqnarray*}$

となるので $A=\cos y$ , $C=-\sin y$ と求まる、という方法である。

なお三角関数の微分を知っていれば、 $x=90^\circ$ を代入する代わりに、 (5) の両辺をで微分してから $x=0^\circ$ を代入することで , を求める、という手もある。

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Shigeharu TAKENO
2003年 3月 4日