2 連続性

まず、連続性の定義を確認する。

定義 1

の近く ( も含む) で定義されている関数に対して、それがで連続であるとは

$\begin{displaymath} \lim_{x\rightarrow a}f(x) \end{displaymath}$ (1)

が存在し、それが

と一致することを言う。

極限 (1) の存在は、もちろん左右の極限が存在し、かつ一致することなので、この連続性は

$\begin{displaymath} \lim_{x\rightarrow a+0}f(x) = \lim_{x\rightarrow a-0}f(x) = f(a) \end{displaymath}$

のように書くこともできるし、厳密にはいわゆる $\varepsilon$ - $\delta$ 論法によって定義される ([1])。

連続性は元々は各点で定義される性質であるが、区間上のすべての点で連続であれば、その関数は 上で連続である、とも言う。なお、その区間が閉区間 $I=[a,b]=\{x; a\leq x\leq b\}$ である場合は、その端点 , での連続性は、片側連続性、すなわち

$\begin{displaymath} \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=f(a),\hspace{1zw}\lim_{x\rightarrow b-0}f(x)=f(b) \end{displaymath}$

で置き変えることになっている。

通常我々は連続な関数を扱うことが多く、関数に不連続な点がある場合でもそのような点はそれほど多くないのが普通である。

例えば、ガウス関数は以下のように定義される不連続な点を持つ関数である。

$\begin{displaymath}[x]=\mbox{$x$ 以下の最大の整数}\end{displaymath}$ (2)

**図 1:** ガウス関数のグラフ
$\includegraphics[height=0.2\textheight]{gauss1.eps}$

このガウス関数は、整数の

に対して

$\begin{displaymath} \lim_{y\rightarrow x+0}[x]=x,\hspace{1zw}\lim_{y\rightarrow x-0}[x]=x-1 \end{displaymath}$

となるのでそこで不連続となる関数であるが、ほとんどの点 (整数以外のすべての

) では連続である。

ところが、中にはすべての点で連続でないような関数も存在する (作ることができる)。

$\begin{displaymath} f_D(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & (\mbox{$x$ が無理数のとき})\\ 1 & (\mbox{$x$ が有理数のとき}) \end{array}\right.\end{displaymath}$ (3)

**図 2:** ディリクレ関数のグラフ
$\includegraphics[height=0.2\textheight]{dirichlet1.eps}$

これはディリクレ関数と呼ばれるもので正確にグラフに表すことはできないが、有理数、無理数はどんな実数

の近くにも無数に存在し、よってどの

の近くでも関数は 0, 1 の値を無限に繰り返し取るので、 0 か 1 のどちらか一方の値に

の周りから近づくことはなく、よってすべての

で不連続な関数である。

これを少し作りかえた次のような関数もある。

$\begin{displaymath} f_1(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & (\mbox{$x$ が無理数の... ...集修� $\displaystyle \frac{q}{p}$ のとき}) \end{array}\right.\end{displaymath}$ (4)

ここで、有理数

の既約表現

とは、

が公約数を持たない整数で、

であることとする。すべての有理数はこのような形の分数に一意に表示されるので、

はこれによりちゃんと定義される (グラフは書けない)。

この関数は、が有理数ならばで不連続、が無理数ならばで連続となっている。が有理数の場合は、ほぼと同じ理由で不連続となるが、が無理数の場合は、がに近づくとき、も無理数ならばなので、関数の値は近い (同じ)。が有理数ならば、その有理数が無理数であるに近づくためには、分母の (もちろん分子のの絶対値も) はだんだん大きくならなければならない。そしてが大きくなれば、は 0 () に近づくことになる。よって、いずれにせよ、が無理数ならば