4 膨張波と衝撃波の衝突

本節では、 $u_1>u_2<u_3$ の、$a$ から出る衝撃波と $b$ から出る膨張波が衝突するとき、 および $u_1<u_2>u_3$ の、$a$ から出る膨張波と $b$ から出る衝撃波が 衝突するときを考える。 まずは前者から。

$S_1=S(u_1,u_2;0,a)$, $R_2=R(u_2,u_3,b)$ とする。$S_1$ の速度

  $$s_1=\frac{f(u_1)-f(u_2)}{u_1-u_2}$$ (13)

は、$R_2$ の左端の速度 $f'(u_2)$ とは、Lax 条件により

$$s_1>f'(u_2)$$

なので、これらは確かに衝突する (図 3 左)。

図 3: 衝撃波-膨張波

その衝突点を $(T_1,X_1)$ とすると、

  $$X_1-a=s_1T_1, \hspace{1zw}X_1-b = f'(u_2)T_1$$ (14)

より、

  $$T_1 = \frac{b-a}{s_1-f'(u_2)}, \hspace{1zw}X_1 = b + \frac{(b-a)f'(u_2)}{s_1-f'(u_2)} = a + \frac{(b-a)s_1}{s_1-f'(u_2)}$$ (15)

となる。

衝突の先では、$X_1$ の右側では、$u$ の値は $R_2$ に沿って連続的に増え、 $X_1$ の左では $u_1$ のままなので、 $u_1$ の方が右の値より大きい間は衝撃波が続くことになり、 すなわち、$R_2$ を $S_1$ につながる曲線の衝撃波 $x=\sigma_1(t)$ が 切断する形で進んでいくことになる (図 3 右)。

この $\sigma_1(t)$ を求める。$\sigma_1(t)$ は Rankine-Hugoniot 条件 (10) を満たす必要があり、 左側の値は $u(t,\sigma_1(t)-0)=u_1$、 右側の値は (5) より、

$$u(t,\sigma_1(t)+0)=v\left(\frac{\sigma_1(t)-b}{t}\right)$$

となるので、$\sigma_1(t)$ は、

  $$\sigma_1' = \frac{f(u_1)-f(v((\sigma_1-b)/t))}{u_1-v((\sigma_1-b)/t)}, \hspace{1zw}\sigma_1(T_1)=X_1$$ (16)

という微分方程式の解となる。 これを解くために、$x=\sigma_1(t)$ に沿った $R_2$ の $u$ の値を

  $$\beta(t) = v\left(\frac{\sigma_1(t)-b}{t}\right)$$ (17)

とすると、(6) より

  $$\frac{\sigma_1(t)-b}{t} = f'(\beta), \hspace{1zw}\sigma_1(t)=b+f'(\beta)t$$ (18)

となるので、これを微分すると

$$\sigma_1'(t)=f''(\beta)\beta't+f'(\beta)$$

となるので、(16) を $\beta$ の方程式にすると、

  $$f''(\beta)\beta't+f'(\beta)=\frac{f(u_1)-f(\beta)}{u_1-\beta}, \hspace{1zw}\beta(T_1)=u_2$$ (19)

となる。今、

  $$G(u) = G(u;u_0) = f'(u)(u-u_0)-(f(u)-f(u_0))$$ (20)

とすると、

  $$G'(u)=f''(u)(u-u_0)$$ (21)

であり、これにより (19) は、

$$G'(\beta; u_1)\beta' t + G(\beta; u_1)=0$$

と書ける。よって、これを解くと、

$$\frac{G'(\beta; u_1)\beta'}{G(\beta; u_1)}=-\frac{1}{t}, \hspace{1zw}G(\beta;u_1)=\frac{C}{t}$$

となり、 $\beta(T_1)=u_2$, (13), (15) より

$$\begin{eqnarray*}\frac{C}{T_1} &=& G(u_2;u_1) \ =\ f'(u_2)(u_2-u_1)-(f(u_2)... ...\\ &=& (f'(u_2)-s_1)(u_2-u_1) \ =\ \frac{(u_1-u_2)(b-a)}{T_1}\end{eqnarray*}$$

となるので、 $C=(u_1-u_2)(b-a)$ となり、よって、(19) の解は、

  $$G(\beta;u_1)=\frac{(u_1-u_2)(b-a)}{t}$$ (22)

となる。

ここで、$f''(u)>0$ なので、(21) より $G(u;u_0)$ は $u=u_0$ では $G(u_0;u_0)=0$, $u\geq u_0$ では増加、 $u\leq u_0$ では減少なので、

$$G(u;u_0)=p$$

という方程式は、$p>0$ に対して $u=H_\pm(p;u_0)$ という解を持ち、

  $$H_{-}(p;u_0)<u_0<H_{+}(p;u_0)\hspace{1zw}(p>0)$$ (23)

となる。これが $G(u)$ の 2 つの逆関数で、 $H_{-}(p;u_0)$ は $p$ に関する減少関数、 $H_{+}(p;u_0)$ は増加関数となる。

例えば、$f(u)=u^2/2$ の場合は、

$$G(u;u_0)=u(u-u_0)-\left(\frac{u^2}{2}-\frac{u_0^2}{2}\right) = \frac{(u-u_0)^2}{2}$$

より、$G(u;u_0)=p$ の解は、

$$u = H_{\pm}(p;u_0) = u_0\pm\sqrt{2p}$$

となる。

この $H_{\pm}$ を用いれば、 $\beta(T_1)=u_2<u_1$ より (22) は

$$\beta(t) = H_{-}\left(\frac{(u_1-u_2)(b-a)}{t};u_1\right)$$

と解け、よって $\beta(t)$ は増加関数で、 $\beta(T_1)=u_2$, $\beta(\infty)=H_{-}(0;u_1) = u_1$ となる。 よって、(18) より、$\sigma_1(t)$ は

  $$\sigma_1(t) = b + tf'\left(H_{-}\left(\frac{(u_1-u_2)(b-a)}{t};u_1\right)\right)$$ (24)

となる。

例えば $f(u)=u^2/2$ の場合は、

$$\sigma_1(t) = b + t\left(u_1-\sqrt{\frac{2(u_1-u_2)(b-a)}{t}}\right) = b + u_1 t -\sqrt{2(u_1-u_2)(b-a)t}$$

となる。

$\beta(t)$ は $t=T_1$ から $t=\infty$ に対し $u_2$ から $u_1$ まで 増加し、(16) より

$$\sigma_1' = \frac{f(u_1)-f(\beta(t))}{u_1-\beta(t)}$$

および $f''(u)>0$ なので、$\sigma_1'(t)$ も増加し、 $\sigma_1'(T_1)=s_1$ から $f'(u_1)$ まで変化する。

よって、$u_3\geq u_1$ ならば $x=\sigma_1(t)$ は $R_2$ と交差しながら 無限に伸びるが、 $u_2<u_3<u_1$ ならば $(T_2,X_2)$ で止まり、 そこで $\beta(T_2)=u_3$ となり、 $t>T_2$ では衝撃波 $S(u_1,u_3;T_2,X_2)$ が $x=\sigma_1(t)$ に つながって続くことになる (図 3 右)。 この $(T_2,X_2)$ は以下を満たす。

$$X_2=\sigma_1(T_2), \hspace{1zw}X_2=b+f'(u_3)T_2$$

次に、$u_1<u_2>u_3$ で膨張波と衝撃波の並びが逆の場合を考える。 この場合は、上と丁度対称な形で解が作られる。 単純波は $R_1=R(u_1,u_2,a)$ $S_2=S(u_2,u_3;0,b)$、$S_2$ の速度は

  $$s_3=\frac{f(u_2)-f(u_3)}{u_2-u_3} < f'(u_2)$$ (25)

で、$R_1$ の右端と $S_2$ との衝突点 $(T_3,X_3)$ は、

$$X_3=b+s_3T_3, \hspace{1zw}X_3 = a+f'(u_2)T_3, \hspace{1zw}T_3 = \frac{b-a}{f'(u_2)-s_3}$$

となる。$(T_3,X_3)$ から出る曲線衝撃波 $x=\sigma_2(t)$ は、

$$\gamma(t)=v\left(\frac{\sigma_2(t)-a}{t}\right), \hspace{1zw}\sigma_2(t)=a+f'(\gamma)t, \hspace{1zw}\gamma(T_3)=u_2$$

に対して

$$\sigma_2'(t)=\frac{f(\gamma(t))-f(u_3)}{\gamma(t)-u_3} =f''(\gamma)\gamma't+f'(\gamma)$$

より、

$$G'(\gamma;u_3)\gamma't+G(\gamma,u_3)=0$$

となって

$$G(\gamma;u_3)=\frac{C}{t}, \hspace{1zw}C_3=(b-a)(u_2-u_3), \hspace{1zw}\gamma(t)\geq u_3$$

より、

$$\gamma(t)=H_{+}\left(\frac{(b-a)(u_2-u_3)}{t};u_3\right), \ \sigma_2(t)=a+tf'\left(H_{+}\left(\frac{(b-a)(u_2-u_3)}{t};u_3\right)\right)$$

となる。$\gamma$ は $\gamma(T_3)=u_2$, $\gamma(\infty)=u_3$ の減少関数、 $\sigma_2'(t)$ も $\sigma_2'(T_3)=s_3$, $\sigma_2'(\infty)=f'(u_3)$ の 減少関数となる。

$u_1<u_3<u_2$ なら $x=\sigma_2(t)$ は無限に伸び、 $u_3<u_1<u_2$ なら $x=\sigma_2(t)$ はある場所 $(T_4,X_4)$ で止まり、 $t>T_4$ では $S(u_1:u_3;T_4,X_4)$ が $\sigma_2(t)$ につながる解となる。