11 K₁₀ の評価

$K_{10}$ は、

$$\begin{eqnarray*}K^{(1)}_{10} &=& \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}(w-z)h(... ...ert dx \right.\\ &&\left. \times(w-z)P[\hat{\Psi}_n]\right\}dt\end{eqnarray*}$$

を $y=N_n(1-x)+t$ と置換して、そして 10 節の (122) での $P[\Psi_n]$ の分割を用いて、 次のように分ける。

	$$K^{(1)}_{10}$$	$=$	$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}h\left(z-\,\frac{t}{n}\right... ...y)\xi\left(1+\frac{t-y}{N_n}\right) \log\left\vert\frac{t-y}{N_n}\right\vert dy$$
			$$\hspace{0.5zw}\times \int_{\vert\bar{s}\vert<1}\xi\left(1+\frac{\... ..._n}\right)\, \frac{\hat{\psi}_0(t-\bar{s})-\hat{\psi}_0(t)}{\bar{s}}\, d\bar{s}$$
			$$+\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}h\left(z-\,\frac{t}{n}\righ... ...y)\xi\left(1+\frac{t-y}{N_n}\right) \log\left\vert\frac{t-y}{N_n}\right\vert dy$$
			$$\hspace{0.5zw}\times \int_{\vert\bar{s}\vert>1}\xi\left(1+\frac{\bar{s}}{N_n}\right)\, \frac{\hat{\psi}_0(t-\bar{s})}{\bar{s}}\,d\bar{s}$$
		$=$	$$K^{(1)}_{10,1} + K^{(1)}_{10,2}$$	(144)

まずは $K^{(1)}_{10,1}$ の方から考えるが、$n$ を固定すれば 当然 $t,y,\bar{s}$ に関して $L^1$ なので、Fubini の定理より

$$\begin{eqnarray*}K^{(1)}_{10,1} &=& \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\psi_... ...rac{t-y}{N_n}\right) \log\left\vert\frac{t-y}{N_n}\right\vert dt\end{eqnarray*}$$

となるが、

$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\frac{\hat{\psi}_0(t-\bar{s}) -\hat{\psi}_0(t)}{\bar{s}}\,dt = 0$$

であることを利用し、最内側の積分を

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}} \frac{\hat{\p... ...\right) \log\left\vert\frac{\bar{s}}{N_n}\right\vert \right\}dt\end{eqnarray*}$$

と書き換え、さらにこの中かっこの部分を以下のように分ける。

$$\begin{eqnarray*}% \lefteqn{\hspace{-3zw} h\left(z-\,\frac{t}{n}\right) \xi\l... ...right\vert -\log\left\vert\frac{\bar{s}}{N_n}\right\vert\right\}\end{eqnarray*}$$

そして、そのそれぞれの積分を $K^{(1)}_{10,1,j}$ とする:

$$\begin{eqnarray*}K^{(1)}_{10,1,j} &=& \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\p... ...1)}_{10,1,1}+K^{(1)}_{10,1,2}+K^{(1)}_{10,1,3} +K^{(1)}_{10,1,4}\end{eqnarray*}$$

まずは、この $K^{(1)}_{10,1,j}$ ($j=1,2,3,4$) を順に評価する。 このうち、 $K^{(1)}_{10,1,1}$, $K^{(1)}_{10,1,2}$ については、 命題 3 と (114) の $g_1$ により

$$\vert K^{(2)}_{10,1,1}\vert\leq g_1\left(\frac{t-y}{N_n}\right), \hspace{1zw}\vert K^{(2)}_{10,1,2}\vert\leq g_1\left(\frac{\bar{s}}{N_n}\right)$$

と評価でき、よって $K^{(2)}_{10,1,1}$, $K^{(2)}_{10,1,2}$ は 一様有界となる。 $(\hat{\psi}_0(t-\bar{s})-\hat{\psi}_0(t))/\bar{s}$ は (124) より $\vert\bar{s}\vert<1$ 上 $t$, $\bar{s}$ に関して $L^1$ で、その積分は $2\Vert\hat{\psi}_0'\Vert _{L^1}$ でおさえられるので、

$$\vert K^{(1)}_{10,1,1}\vert\leq 2\Vert\psi_0\Vert _{L^1}\Vert\hat... ...ert\psi_0\Vert _{L^1}\Vert\hat{\psi}_0'\Vert _{L^1} \Vert g_1\Vert _{L^\infty}$$

より $K^{(1)}_{10,1,1}$, $K^{(1)}_{10,1,2}$ も一様有界となる。

極限は、 $n\rightarrow\infty$ のときに

$$g_1\left(\frac{t-y}{N_n}\right)\rightarrow g_1(0)=0, \hspace{1zw}g_1\left(\frac{\bar{s}}{N_n}\right)\rightarrow 0$$

となるので、Lebesgue 収束定理により、

  $$K^{(1)}_{10,1,1}\rightarrow 0, \hspace{1zw}K^{(1)}_{10,1,2}\rightarrow 0$$ (145)

となる。

$K^{(1)}_{10,1,3}$ については、$\bar{s}=N_n u$ と置換すると

$$\begin{eqnarray*}K^{(1)}_{10,1,3} &=& \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}dt ... ...\right\} \frac{\hat{\psi}_0(t-N_n u)-\hat{\psi}_0(t)}{N_n u}\,dt\end{eqnarray*}$$

となるが、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ N_n\left\{\xi\left(1+\frac{t-y}{N_n}\right)-\xi(1+u)... ...\{\xi\left(1+\frac{t-y}{N_n}\right)-\xi(1+u)\right\} (t-y-N_n u)\end{eqnarray*}$$

より、これは、

$$\left\vert N_n\left\{\xi\left(1+\frac{t-y}{N_n}\right)-\xi(1+u)\right\} \right\vert \leq \Vert\xi'\Vert _{L^\infty}\vert t-y-N_n u\vert$$

と評価できる。 また、この $(t-y-N_n u)$ については $\psi_0$, $\hat{\psi}_0$ に 以下のように取り込む。

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ (t-y-N_n u)\psi_0(y)\, \frac{\hat{\psi}_0(t-N_n u)-... ...i_{0,1}(y)\, \frac{\hat{\psi}_0(t-N_n u)-\hat{\psi}_0(t)}{N_n u}\end{eqnarray*}$$

一般に、 $\phi\in\mathcal{S}$ に対して

$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\left\vert\frac{\phi(t-N_n u... ...\{-\phi'(t-\theta N_n u)\} d\theta\right\vert dt \leq \Vert\phi'\Vert _{L^1}$$

なのでよって $K^{(1)}_{10,1,3}$ は、

$$\begin{eqnarray*}\vert K^{(1)}_{10,1,3}\vert &\leq& \Vert h\Vert _{L^\infty}\V... ...L^1} +\Vert\psi_{0,1}\Vert _{L^1}\Vert\hat{\psi}_0'\Vert _{L^1})\end{eqnarray*}$$

とおさえられ、

  $$\int_{\vert u\vert\leq 1/N_n}\xi(1+u)\left\vert\log\vert u\vert\right\vert du \leq \Vert\xi(1+u)\log\vert u\vert\Vert _{L^1}$$ (146)

より $K^{(1)}_{10,1,3}$ は一様有界となることがわかる。

さらに、この (146) の左辺は $N_n\rightarrow\infty$ より 0 に収束するので、 $n\rightarrow\infty$ のときの $K^{(1)}_{10,1,3}$ の極限は

  $$K^{(1)}_{10,1,3}\rightarrow 0$$ (147)

となる。

$K^{(1)}_{10,1,4}$ は

	$$K^{(1)}_{10,1,4}$$	$=$	$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\,h\left(z-\,\frac{y}{n}\rig... ..._0(y)dy \int_{\vert\bar{s}\vert<1}\xi\left(1+\frac{\bar{s}}{N_n}\right)d\bar{s}$$
			$$\hspace{0.5zw}\times \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\frac{\... ...i\left(1+\frac{t-y}{N_n}\right) \log\left\vert\frac{t-y}{\bar{s}}\right\vert dt$$	(148)

となるが、$n$ によらない関数

  $$K^{(2)}_{10,1,4} = \psi_0(y) \,\frac{\hat{\psi}_0(t-\bar{s})-\hat{\psi}_0(t)}{\bar{s}}\, \log\left\vert\frac{t-y}{\bar{s}}\right\vert$$ (149)

の $\vert\bar{s}\vert<1$ 上での $y,\bar{s},t$ に関する可積分性を示す。まず、

$$\left\vert\log\left\vert\frac{t-y}{\bar{s}}\right\vert\right\vert... ...t\vert\log\vert t-y\vert\right\vert+\left\vert\log\vert\bar{s}\vert\right\vert$$

と分ける。この $\log\vert\bar{s}\vert$ の方は、

	$${ \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}dy\int_{\vert\bar{s}\vert<... ...0(t-\bar{s})-\hat{\psi}_0(t)}{\bar{s}}\, \log\vert\bar{s}\vert \right\vert dt }$$
		$\leq$	$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\vert\psi_0(y)\vert dy \int_... ...$R$}}\left\vert\int_0^1\{-\hat{\psi}_0'(t-\theta\bar{s}\} d\theta\right\vert dt$$
		$\leq$	$$\Vert\psi_0\Vert _{L^1} \Vert\log\vert\bar{s}\vert\Vert _{L^1(-1,1)}\Vert\hat{\psi}_0'\Vert _{L^1}$$	(150)

より可積分となる。次に $\log\vert t-y\vert$ の方であるが、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}dy\int_{\vert\b... ...nt_{y-1}^{y+1}dt \\ &=& K^{(3)}_{10,1,4,1} + K^{(3)}_{10,1,4,2}\end{eqnarray*}$$

と分けると、$x>1$ で $0<\log x<x$ なので $K^{(3)}_{10,1,4,1}$ では $\log\vert t-y\vert$ を $\vert t-y\vert$ でおさえて、 この $t-y$ を補題 7 を用いて $\psi_0$ と $\hat{\psi}_0$ に取り込む。

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{(t-y)\psi_0(y)\,% \frac{\hat{\psi}_0(t-\bar{s})-\hat{... ...\hat{\psi}_{0,1}(t)}{-\bar{s}} +\psi_0(y)\hat{\psi}_0(t-\bar{s})\end{eqnarray*}$$

より、

	$$K^{(3)}_{10,1,4,1}$$	$\leq$	$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}dy\int_{\vert\bar{s}\vert<1}... ...t{\psi}_0(t-\bar{s})-\hat{\psi}_0(t)}{\bar{s}} \log\vert t-y\vert\right\vert dt$$
		$\leq$	$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\vert\psi_{0,1}(y)\vert dy \... ...t\vert \frac{\hat{\psi}_0(t-\bar{s})-\hat{\psi}_0(t)}% {\bar{s}}\right\vert dt$$
			$$\hspace{0.5zw}+\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\vert\psi_0(y... ...frac{\hat{\psi}_{0,1}(t-\bar{s})-\hat{\psi}_{0,1}(t)}% {\bar{s}}\right\vert dt$$
			$$\hspace{0.5zw}+ \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\vert\psi_0(... ...ar{s} \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\vert\hat{\psi}_0(t-\bar{s})\vert dt$$
		$\leq$	$$2\Vert\psi_{0,1}\Vert _{L^1}\Vert\hat{\psi}_0'\Vert _{L^1} +2\Ver... ...\psi}_{0,1}'\Vert _{L^1} +2\Vert\psi_0\Vert _{L^1}\Vert\hat{\psi}_0\Vert _{L^1}$$	(151)

でおさえられる。 また、 $K^{(3)}_{10,1,4,2}$ は、

	$$K^{(3)}_{10,1,4,2}$$	$=$	$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}dy\int_{\vert\bar{s}\vert<1}... ...\psi}_0(t-\bar{s})-\hat{\psi}_0(t)}{\bar{s}}\, \log\vert t-y\vert\right\vert dt$$
		$\leq$	$$2\Vert\psi_0\Vert _{L^1}\Vert\hat{\psi}_0'\Vert _{L^\infty} \Vert\log\vert t\vert\Vert _{L^1(-1,1)}$$	(152)

とおさえられる。 よって、(150), (151), (152) より、

  $$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}dy \int_{\vert\bar{s}\vert... ... \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\vert K^{(2)}_{10,1,4}\vert dt < \infty$$ (153)

となり、 $K^{(2)}_{10,1,4}$ は $\vert\bar{s}\vert>1$ 上 $y,\bar{s},t$ に 関して $L^1$ となる。

$K^{(2)}_{10,1,4}$ は $n$ によらないので、 (148) に戻ると、 $K^{(1)}_{10,1,4}$ は、

$$\vert K^{(1)}_{10,1,4}\vert \leq \Vert h\Vert _{L^\infty}\int_{\m... ...1}d\bar{s} \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\vert K^{(2)}_{10,1,4}\vert dt$$

とおさえられ、一様有界となる。

$K^{(1)}_{10,1,4}$ の極限も、(153) により Lebesgue 収束定理が適用でき、よって、

	$$K^{(1)}_{10,1,4}$$	$\rightarrow$	$$K^{(1),\infty}_{10,1,4}$$
		$=$	$$h(z)\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\psi_0(y)dy\int_{\vert\b... ...{s})-\hat{\psi}_0(t)} {\bar{s}} \log\left\vert\frac{t-y}{\bar{s}}\right\vert dt$$	(154)

となることがわかる。 この極限の評価については、後で考える。 これで、 $K^{(1)}_{10,1}$ の有界性と極限が得られたことになる。

次は (144) の $K^{(1)}_{10,2}$ を考える。 $K^{(1)}_{10,2}$ の $\log$ の部分を

$$\log\left\vert\frac{t-y}{N_n}\right\vert =\log\left\vert\frac{\bar{s}}{N_n}\right\vert +\log\left\vert\frac{t-y}{\bar{s}}\right\vert$$

と分け、 $K^{(1)}_{10,2}$ を、 前者を持つ $K^{(1)}_{10,2,1}$ と 後者を持つ $K^{(1)}_{10,2,2}$ の 2 つに分ける。 まずは $K^{(1)}_{10,2,1}$ から考える。 $t$ を $t-\bar{s}=\bar{t}$ と置換すると、

$$\begin{eqnarray*}K^{(1)}_{10,2,1} &=& \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\ps... ...{\bar{s}}\,\log\left\vert\frac{\bar{s}}{N_n}\right\vert d\bar{s}\end{eqnarray*}$$

となる。 この、$\psi_0$, $\hat{\psi}_0$ を除いた、最も内側の $\bar{s}$ に 関する積分の部分を $K^{(2)}_{10,2,1}$ とする。 $\bar{s}=N_n u$ と置換すると、

$$\begin{eqnarray*}K^{(2)}_{10,2,1} &=& \int_{1/N_n<\vert u\vert<1/2}h\left(z-(w... ...rt u\vert du \\ &=& \int_{1/N_n}^{1/2}du+\int_{-1/2}^{-1/N_n}du\end{eqnarray*}$$

となる。後者の積分で $u$ を $-u$ に変えると、 $\xi(1-u)=\xi(1+u)$ より、

$$\begin{eqnarray*}K^{(2)}_{10,2,1} &=& \int_{1/N_n}^{1/2}\frac{\xi(1+u)}{u}\,\l... ...{n}\right) \xi\left(1-u+\frac{\bar{t}-y}{N_n}\right) \right\}du\end{eqnarray*}$$

となる。この中かっこの部分を $K^{(3)}_{10,2,1}$ とすると、 命題 3 より、

$$\vert K^{(3)}_{10,2,1}\vert \leq C_0\{(w-z)^{2\tau}\vert 2u\vert^... ...ert 2u\vert\} +2\Vert h\Vert _{L^\infty}\Vert\xi'\Vert _{L^\infty}\vert u\vert$$

と評価できるので、 $K^{(2)}_{10,2,1}$ の被積分関数の絶対値は

	$${ \xi(1+u)\left\vert\log\vert u\vert\right\vert }$$
			$$\times \left(C_0\{2^{2\tau}(w_1-z_1)^{2\tau}\vert u\vert^{2\tau-1}+2(w_1-z_1)\} +2\Vert h\Vert _{L^\infty}\Vert\xi'\Vert _{L^\infty}\right)$$	(155)

以下となり、(155) は $(0,1/2)$ 上 $u$ に 関して $L^1$ なので、 $K^{(2)}_{10,2,1}$ は一様有界となる。 よって、

$$K^{(1)}_{10,2,1} =\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\psi_0(y)dy\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\hat{\psi}_0(t) K^{(2)}_{10,2,1}dt$$

も一様有界となる。

そして、(155) が $L^1$ であることから、 $K^{(2)}_{10,2,1}$ に Lebesgue 収束定理を適用でき、

$$\begin{eqnarray*}K^{(2)}_{10,2,1} &\rightarrow& K^{(2),\infty}_{10,2,1} \\ &=... ...ac{h(z-(w-z)u) - h(z+(w-z)u)}{u}\, \xi(1+u)^2\log\vert u\vert du\end{eqnarray*}$$

となる。 この極限 $K^{(2),\infty}_{10,2,1}$ は $w,z$ には 依存するが $\bar{t},y$ には無関係なので、 よって $K^{(1)}_{10,2,1}$ の極限は、再び Lebesgue 収束定理により

$$K^{(1)}_{10,2,1} \rightarrow K^{(1),\infty}_{10,2,1} = K^{(2),\in... ...\psi_0(y)dy \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\hat{\psi}_0(\bar{t})d\bar{t}$$

となる。 $K^{(1),\infty}_{10,2,1}$ は $\psi_0$, $\hat{\psi}_0$ の 入れかえで不変となり、よって

  $$K^{(1)}_{10,2,1}-\hat{K}^{(1)}_{10,2,1} \rightarrow 0$$ (156)

となる。

あとは $K^{(1)}_{10,2,2}$ のみであるが、これも $t-\bar{s}=\bar{t}$ と すると、

$$\begin{eqnarray*}K^{(1)}_{10,2,2} &=& \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\ps... ...,\log\left\vert 1+\frac{\bar{t}-y}{\bar{s}} \right\vert d\bar{s}\end{eqnarray*}$$

となる。ここで、

  $$K^{(2)}_{10,2,2} = \psi_0(y)\hat{\psi}_0(\bar{t}) \,\frac{1}{\bar{s}}\,\log\left\vert 1+\frac{\bar{t}-y}{\bar{s}} \right\vert$$ (157)

が $\vert\bar{s}\vert>1$ 上 $y,\bar{t},\bar{s}$ に関して $L^1$ で あることを示す。 そのために、関数

  $$g_2(\alpha) = \int_{\vert x\vert>1}\left\vert\frac{1}{x}\, \log\left\vert 1+\frac{\alpha}{x}\right\vert\right\vert dx$$ (158)

を考える。この積分の特異性は、 $x\rightarrow\pm\infty$ と $x=-\alpha$ に現れるが、 $x\rightarrow\pm\infty$ のときは $\alpha/x\rightarrow 0$ より

$$\log\left\vert 1+\frac{\alpha}{x}\right\vert = O\left(\frac{\alpha}{x}\right)$$

となるので、 $x\rightarrow\pm\infty$ に関しては (158) の積分は収束する。 また、 $\vert\alpha\vert\geq 1$ のとき、$x=-\alpha$ の付近では、

$$\frac{1}{x}\,\log\left\vert 1+\frac{\alpha}{x}\right\vert = \fra... ...) \approx -\,\frac{1}{\alpha}\{\log\vert x+\alpha\vert-\log\vert\alpha\vert\}$$

なので、やはり可積分となり、 よって $g_2(\alpha)$ は確かに収束する。 また $g_2(-\alpha)=g_2(\alpha)$ も容易にわかるので、 $\alpha>0$ の場合のみ考えればよい。 $\alpha/x = u$ とすると、

$$g_2(\alpha) = \int_{\vert u\vert<\alpha}\left\vert\frac{\alpha}{u... ...\int_{-\alpha}^{\alpha}\left\vert\frac{1}{u}\,\log\vert 1+u\vert\right\vert du$$

となるが、$(\log\vert 1+u\vert)/u$ は $u\neq -1$ 以外では連続で、 $u=-1$ の付近では可積分なので、 $0<\alpha<2$ ならば $g_2(\alpha)$ は有界となる。 $\alpha>2$ での評価を考えるために、 $\alpha\rightarrow\infty$ でのオーダーの評価を行う。

$(\log\vert 1+u\vert)/u$ は $(1,\infty)$ では可積分ではないので、 $\alpha\rightarrow\infty$ では $g_2(\alpha)$ は $\infty$ に発散する。$\alpha>2$ に対して、

$$\begin{eqnarray*}\frac{g_2'(\alpha)}{\{(\log\alpha)^2\}'} &=& \frac{\vert(\log... ...alpha} \\ &=& \frac{\log(\alpha+1)+\log(\alpha-1)}{2\log\alpha}\end{eqnarray*}$$

であり、最後の式の $\alpha\rightarrow\infty$ に対する極限は、 ロピタルの定理より

$$\frac{1/(\alpha+1)+1/(\alpha-1)}{2/\alpha}\rightarrow 1$$

となる。よって再びロピタルの定理により、

$$\frac{g_2(\alpha)}{(\log\alpha)^2}\rightarrow 1$$

となることがわかり、 よって $g_2(\alpha)=(\log\alpha)^2(1+o(1))$ なので、よって

  $$g_2(\alpha)\leq \left\{\begin{array}{ll} C_6(\log\vert\alpha\vert)^2 & (\vert\alpha\vert>2)\\ C_7 & (\vert\alpha\vert<2) \end{array}\right.$$ (159)

と評価できることになる。ここから例えば、

  $$g_2(\alpha)\leq C_8(1+\vert\alpha\vert)$$ (160)

となる定数 $C_8$ も取れることになる。

$K^{(2)}_{10,2,2}$ に戻れば、(157), (158), (160) より

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ \int_{\vert\bar{s}\vert>1}\vert K^{(2)}_{10,2,2}\ver... ...,1}(\bar{t})\vert +\vert\psi_{0,1}(y)\hat{\psi}_0(\bar{t})\vert)\end{eqnarray*}$$

となるので、これで $K^{(2)}_{10,2,2}$ が $\vert\bar{s}\vert>1$ 上で $y,\bar{t},\bar{s}$ に関して可積分であることがわかる。 よって、

$$\vert K^{(1)}_{10,2,2}\vert\leq \Vert h\Vert _{L^\infty}\int\!\!... ...\!\!\int _{\vert\bar{s}\vert>1}\vert K^{(2)}_{10,2,2}\vert dy d\bar{t}d\bar{s}$$

より $K^{(1)}_{10,2,2}$ が一様有界であることが示されたことになる。

$K^{(1)}_{10,2,2}$ の極限は、Lebesgue 収束定理より、

  $$K^{(1)}_{10,2,2} \rightarrow K^{(1),\infty}_{10,2,2} = h(z) ... ...int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\hat{\psi}_0(\bar{t})g_3(\bar{t}-y)d\bar{t}$$ (161)

となる。ここで、$g_3$ は

  $$g_3(\alpha) = \int_{\vert\bar{s}\vert>1}\frac{1}{\bar{s}}\, \log\left\vert 1+\frac{\alpha}{\bar{s}}\right\vert d\bar{s}$$ (162)

とした。$g_3(\alpha)$ が収束することは $g_2(\alpha)$ の考察から わかる。

以上で $K_{10}$ の一様有界性とその極限がわかり、 (145), (147), (154), (156), (161) より、

	$$K_{10}$$	$=$	$$(\tau+1)(K^{(1)}_{10}-\hat{K}^{(1)}_{10}) \ =\ (\tau+1)\{(K^{(1)}_{10,1}-\hat{K}^{(1)}_{10,1}) +(K^{(1)}_{10,2}-\hat{K}^{(1)}_{10,2})\}$$
		$\rightarrow$	$$K_{10}^\infty \ =\ (\tau+1)\{(K^{(1),\infty}_{10,1,4}-\hat{K}^{(1),\infty}_{10,1,4}) +(K^{(1),\infty}_{10,2,2}-\hat{K}^{(1),\infty}_{10,2,2}\}$$	(163)

のみが残ることになる。 よってあとは (154) の $K^{(1),\infty}_{10,1,4}$ と (161) の $K^{(1),\infty}_{10,2,2}$ を考えればよい。 (154) の最内側の $t$ に関する積分は

	$${ \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\frac{\hat{\psi}_0(t-\bar{s})-\hat{\psi}_0(t)} {\bar{s}}\log\left\vert\frac{t-y}{\bar{s}}\right\vert dt }$$
		$=$	$$\frac{1}{\bar{s}} \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\hat{\psi}... ...-y}{\bar{s}}\right\vert -\log\left\vert\frac{t-y}{\bar{s}}\right\vert\right\}dt$$
		$=$	$$\frac{1}{\bar{s}} \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\hat{\psi}_0(t) \log\left\vert 1+\frac{\bar{s}}{t-y}\right\vert dt$$	(164)

となるので、

  $$K^{(4)}_{10,1,4} = \psi_0(y)\hat{\psi}_0(t)\,\frac{1}{\bar{s}}\, \log\left\vert 1+\frac{\bar{s}}{t-y}\right\vert$$ (165)

が $\vert\bar{s}\vert>1$ 上で $t,y,\bar{s}$ に関して $L^1$ であることが わかれば、 $K^{(1),\infty}_{10,1,4}$ の積分を (165) に置き換えたものに対して Fubini の 定理が使えることになる。 今、$\alpha\neq 0$ に対し、

  $$g_4(\alpha) = \int_{\vert\bar{s}\vert<1}\left\vert\frac{1}{\bar{s}}\, \log\left\vert 1+\frac{\bar{s}}{\alpha}\right\vert\right\vert d\bar{s}$$ (166)

とすると、$1/\bar{s}=u$ の置換により

$$g_4(\alpha) =\int_{\vert u\vert>1}\left\vert\frac{1}{u}\, \log\l... ...1+\frac{1}{u\alpha}\right\vert\right\vert du =g_2\left(\frac{1}{\alpha}\right)$$

となるので、(159) より、

$$g_4(\alpha)\leq \left\{\begin{array}{ll} C_6(\log\vert\alpha\vert)^2 & (\vert\alpha\vert<1/2)\\ C_7 & (\vert\alpha\vert>1/2) \end{array}\right.$$

となるから、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}dt\int_{\mbox{\... ...2\Vert _{L^1(-1/2,1/2)} +C_7\Vert\hat{\psi}_0\Vert _{L^1}\right)\end{eqnarray*}$$

とおさえられ、これで $K^{(4)}_{10,1,4}$ が可積分であることが 保証される。よって、(154) の $K^{(1),\infty}_{10,1,4}$ を (165) に変えたものに Fubini の定理が使えて、

  $$K^{(1),\infty}_{10,1,4} = h(z)\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\psi_0(y)dy \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\hat{\psi}_0(t)g_5(t-y)dt$$ (167)

となる。ここで、

  $$g_5(\alpha) = \int_{\vert\bar{s}\vert<1}\frac{1}{\bar{s}}\, \log\left\vert 1+\frac{\bar{s}}{\alpha}\right\vert d\bar{s}$$ (168)

としたが、$\bar{s}=1/u$ により、

$$g_5(\alpha) = \int_{\vert u\vert>1}\frac{1}{\bar{u}}\, \log\left\vert 1+\frac{1}{u\alpha}\right\vert du = g_3\left(\frac{1}{\alpha}\right)$$

となるので、よって (161), (167) より

  $$K^{(1),\infty}_{10,1,4} + K^{(1),\infty}_{10,2,2} = \int_{\mbo... ...th$R$}}\hat{\psi}_0(t) \left\{g_3(t-y)+g_3\left(\frac{1}{t-y}\right)\right\}dt$$ (169)

となる。 この $g_3(\alpha)+g_3(1/\alpha)$ を考えてみる。 なお、

$$g_3(-\alpha) = \int_{\vert\bar{s}\vert>1}\frac{1}{\bar{s}}\, \lo... ...}\frac{1}{s}\, \log\left\vert 1+\frac{\alpha}{s}\right\vert ds = -g_3(\alpha)$$

となるので $g_3(\alpha)$ は奇関数であり、 よって $\alpha>0$ として考える。

$$g_3(\alpha)=\int_1^\infty d\bar{s}+\int_{-\infty}^{-1}d\bar{s}$$

であり、後者で $\bar{s}$ を $-\bar{s}$ にすれば、

$$\begin{eqnarray*}g_3(\alpha) &=& \int_1^\infty\frac{1}{\bar{s}}\, \log\left\v... ...eft\vert\frac{\bar{s}+\alpha}{\bar{s}-\alpha}\right\vert d\bar{s}\end{eqnarray*}$$

となるが、 $\bar{s}=\alpha t$ とすると $\alpha>0$ より

$$g_3(\alpha)=\int_{1/\alpha}^\infty\frac{1}{t}\, \log\left\vert\frac{t+1}{t-1}\right\vert dt$$

となる。ここで、$1/t=u$ とすると、

$$g_3(\alpha) =\int_0^\alpha u\times\frac{1}{u^2}\, \log\left\vert\... ...ert du =\int_0^\alpha\frac{1}{u}\, \log\left\vert\frac{u+1}{u-1}\right\vert du$$

となるので、結局

$$g_3(\alpha)+g_3\left(\frac{1}{\alpha}\right) = \int_0^\infty\frac{1}{t}\, \log\left\vert\frac{t+1}{t-1}\right\vert dt$$

は、$\alpha$ によらない定数 ($=g_6$ とする) になることがわかる。 一応この値 $g_6$ も求めておく。

まず $(t-1)/(t+1)=y$ と置換すると、 $t=(1+y)/(1-y)$, $dt=2dy/(1-y)^2$ より、

$$\begin{eqnarray*}g_6 &=& \int_{-1}^1\frac{1-y}{1+y}\,\frac{2}{(1-y)^2}\, \log... ...y^2}\log\vert y\vert dy \\ &=& -4\int_0^1\frac{\log y}{1-y^2}dy\end{eqnarray*}$$

となり、$-\log y=s$ とすると $y=e^{-s}$, $dy=-e^{-s}ds$ より

$$g_6 = 4\int_0^\infty\frac{e^{-s}s}{1-e^{-2s}}\,ds = 4\int_0^\infty s(e^{-s}+e^{-3s}+e^{-5s}+\cdots)ds$$

なので、Lebesgue 収束定理により、

$$\begin{eqnarray*}g_6 &=& 4\sum_{n=1}^\infty\int_0^\infty se^{-(2n-1)s}ds \ =\... ... %\ = \ \\ &=& 3\times\frac{\pi^2}{6} \ =\ \frac{\pi^2}{2}\end{eqnarray*}$$

となる。これで、$g_3(\alpha)$ が奇関数であることと合わせて、 $\mathop{\mathrm{sgn}}(x)$ を符号関数とすれば、$\alpha>0$, $\alpha<0$ の いずれでも

$$g_3(\alpha)+g_3\left(\frac{1}{\alpha}\right) =\frac{\pi^2}{2}\mathop{\mathrm{sgn}}(\alpha)$$

と表されることになる。 よって (169) は、

$$\begin{eqnarray*}K^{(1),\infty}_{10,1,4} + K^{(1),\infty}_{10,2,2} &=& \frac{\... ...i}_0(t)dt\right)dy \\ &=& \frac{\pi^2}{2}R[\psi_0,\hat{\psi}_0]\end{eqnarray*}$$

となる。これで、(163) より $K^{\infty}_{10}$ は

	$$K^\infty_{10}$$	$=$	$$(\tau+1)\{(K^{(1),\infty}_{10,1,4}+K^{(1),\infty}_{10,2,2}) -(\hat{K}^{(1),\infty}_{10,1,4}+\hat{K}^{(1),\infty}_{10,2,2})\}$$
		$=$	$$(\tau+1)\left\{\frac{\pi^2}{2}R[\psi_0,\hat{\psi}_0] -\,\frac{\pi^2}{2}R[\hat{\psi}_0,\psi_0]\right\}h(z)$$
		$=$	$$(\tau+1)\pi^2 R[\psi_0,\hat{\psi}_0]h(z)$$	(170)

となる。

以上、8 節、9 節、10 節と本節の 内容、特に (110), (111), (170) より、次のことが言える。

命題 8

$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}h(a)B_nda$$

は $w,z\in [z_1,w_1]$ 上 $n$ に関して一様有界で、 その $n\rightarrow\infty$ の極限は、

$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}h(a)B_nda \rightarrow \the... ...^2} \left\{(A_\tau^2+\pi^2)h(z)+B_\tau^2h(w)\right\} R[\psi_0,\hat{\psi}_0]$$

となる。