8 h(a)B_n の積分の評価

本節から、$h(a)B_n$ の $a$ での積分の一様有界性と その極限について考察していく。 ここでは、$\eta_n$, $\sigma_n$ は、最後まで部分積分した展開式 (36), (42) を用いる。

まず、簡単のため (36), (42) の積分項を

  $$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle G_j[\phi] \ =\ \int_0... ...thop{\mathrm{p.v.}}\int_0^\infty\phi(x)\frac{\xi(x)}{x-1}dx \end{array}\right.$$ (97)

と書くことにする。また、$B_n$ であるが、 少し評価しづらい項を消すために、 $\sigma_n$ の代わりに、 $\bar{\sigma}_n=\sigma_n+\theta(w-z)\eta_n$ を用いる。すなわち、

$$\begin{eqnarray*}B_n &=& \eta_n\hat{\sigma}_n-\hat{\eta}_n\sigma_n \ =\ \et... ...n) \\ &=& \eta_n\hat{\bar{\sigma}}_n-\hat{\eta}_n\bar{\sigma}_n\end{eqnarray*}$$

で考える。この $\bar{\sigma}_n$ は、(36), (42) より

  $$\bar{\sigma}_n = \theta\frac{(w-z)^{\tau+1}}{\mathop{\mathit{\... ...u)} \left\{B_\tau\psi_n(w)+(\tau+1)\bar{G}_7[\Psi_n]+(\tau+1)L[\Psi_n]\right\}$$ (98)

となる。 ここで、 $\bar{F}_7(x)=\bar{F}_1(x)-\bar{F}_0(x)$ としたが、 これは $x=1$ 以外で連続で、$x>0$ で有界かつ $L^1$ の関数である。

(36), (97), (98) に より、$B_n$ を展開すると次のようになる。

	$$B_n$$	$=$	$$\theta\frac{(w-z)^{2\tau+1}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(-\tau)^2}$$
			$$\times \left\{\left(A_\tau\psi_n(z)+B_\tau\psi_n(w) -(\tau+1)\bar{G}_0[\Psi_n]-\tau(\tau+1)L[\Psi_n]-P[\Psi_n]\right) \right.$$
			$$\left. \times\left(B_\tau\hat{\psi}_n(w)+(\tau+1)\bar{G}_7[\hat{\Psi}_n] +(\tau+1)L[\hat{\Psi}_n]\right) \right.$$
			$$\left. -\left(A_\tau\hat{\psi}_n(z)+B_\tau\hat{\psi}_n(w) -(\tau+... ...{G}_0[\hat{\Psi}_n]-\tau(\tau+1)L[\hat{\Psi}_n] -P[\hat{\Psi}_n]\right) \right.$$
			$$\left. \times\left(B_\tau\psi_n(w)+(\tau+1)\bar{G}_7[\Psi_n] +(\tau+1)L[\Psi_n]\right)\right\}$$
		$=$	$$\theta\frac{(w-z)^{2\tau+1}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(-\tau)^2} \sum_{j=1}^{10}Q_j$$	(99)

ここで、$Q_j$ ( $1\leq j\leq 10$) は以下の通り。

$$\begin{eqnarray*}Q_1 &=& A_\tau B_\tau(\psi_n(z)\hat{\psi}_n(w)-\hat{\psi}_n(... ...)\left(L[\Psi_n]P[\hat{\Psi}_n] -L[\hat{\Psi}_n]P[\Psi_n]\right)\end{eqnarray*}$$

ここで、

  $$\bar{F}_0(x)-\tau\bar{F}_7(x) =-\tau\bar{F}_1(x)+(\tau+1)\bar{F}_0(x) =\bar{F}_8(x)$$ (100)

とした。

これら $Q_j$ に対して、$h(a)$ と、さらに (99) の 頭についている $(w-z)^{2\tau+1}$ から $(w-z)$ をひとつ借用した 積の $a$ に関する積分

  $$K_j = \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}(w-z)h(a)Q_jda\hspace{1zw}(1\leq j\leq 10)$$ (101)

の一様有界性、およびその $n\rightarrow\infty$ のときの極限を 考えることにする。 なお、以前も少し用いたが、以後自然数 $k$ に対し、

  $$\psi_{0,k}(t)=t^k\psi_0(t)\in\mathcal{S}, \hspace{1zw}\hat{\psi}_{0,k}(t)=t^k\hat{\psi}_0(t)\in\mathcal{S}$$ (102)

のように書くことにする。

まずは $K_1$ の評価から。$Q_1$ の定数の係数を除いた半分の項

$$\psi_n(z)\hat{\psi}_n(w) = n^2\psi_0(n(z-a))\hat{\psi}_0(n(w-a))$$

については、$n(z-a)=t$ とすると

$$a=z-\,\frac{t}{n}, \hspace{1zw}n(w-a) = n(w-z)+n(z-a)=N_n+t$$

となるので、その積分を $K^{(1)}_1$ とすると

$$\begin{eqnarray*}K^{(1)}_1 &=& \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}(w-z)h(a)\... ...R$}}h\left(z-\,\frac{t}{n}\right)\psi_0(t) \hat{\psi}_0(N_n+t)dt\end{eqnarray*}$$

となって $N_n$ が一つ余ってしまうが、 それは、次のように $\psi_0$, $\hat{\psi}_0$ の積に吸収できる。

$$\begin{eqnarray*}N_n\psi_0(t)\hat{\psi}_0(N_n+t) &=& \{(N_n+t)-t\}\psi_0(t)\ha... ...\psi_0(t)\hat{\psi}_{0,1}(N_n+t)-\psi_{0,1}(t)\hat{\psi}_0(N_n+t)\end{eqnarray*}$$

よって

$$\begin{eqnarray*}\vert K^{(1)}_1\vert &\leq& \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$... ...rt\psi_{0,1}\Vert _{L^1}\Vert\hat{\psi}_0\Vert _{L^\infty}\right)\end{eqnarray*}$$

と評価でき、これにより $K^{(1)}_1$ が、そして

$$K_1=A_\tau B_\tau(K^{(1)}_1-\hat{K}^{(1)}_1)$$

が $w,z\in [z_1,w_1]$ 上 $n$ に関して一様有界であることがわかる。 ここで $\hat{K}^{(1)}_1$ は $K^{(1)}_1$ の $\psi_0$, $\hat{\psi}_0$ を取りかえたものとした。以下同様に書くことにする。

また、$B_n$ には $(w-z)^{2\tau}$ 倍がついているので $z<w$ と考えてよく、このとき $n\rightarrow\infty$ に対して $N_n=n(w-z)\rightarrow\infty$ なので、

$$\hat{\psi}_{0,1}(N_n+t)\rightarrow 0, \hspace{1zw}\hat{\psi}_0(N_n+t)\rightarrow 0$$

となるので、Lebesgue 収束定理により $K^{(1)}_1$、 そして $K_1$ が $n\rightarrow\infty$ に対して

  $$K^{(1)}_1\rightarrow0, \hspace{1zw}K_1\rightarrow 0$$ (103)

となることがわかる。

なお、以後もこのように $K_j$ の係数を除いた半分 ($=K^{(1)}_j$ の ように書く) でまず考察を行う。

次は $K_2$。この場合係数を除いた半分の項は $n(z-a)=Z_n=t$ により

$$\begin{eqnarray*}\psi_n(z)\bar{G}_7[\hat{\Psi}_n] &=& n\psi_0(n(z-a)\int_0^\in... ...psi_0(t)\int_0^\infty n\hat{\psi}_0(n(w-a)-n(w-z)x)\bar{F}_7(x)dx\end{eqnarray*}$$

であり、 $n(w-a)-n(w-z)x = N_n+t-N_n x=N_n(1-x)+t$ なので、この積分は

$$\begin{eqnarray*}K^{(1)}_2 &=& \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}(w-z)h(a)\... ...i_0(t)dt \int_0^\infty N_n\hat{\psi}_0(N_n(1-x)+t)\bar{F}_7(x)dx\end{eqnarray*}$$

となり、 $N_n(1-x)+t = y$ とすると $x=1+(t-y)/N_n$ より、

$$K^{(1)}_2 = \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}h\left(z-\,\frac... ...int_{-\infty}^{N_n+t}\hat{\psi}_0(y) \bar{F}_7\left(1+\frac{t-y}{N_n}\right)dy$$

となる。$\bar{F}_7(x)$ は有界なので、

$$\vert K^{(1)}_2\vert \leq \Vert h\Vert _{L^\infty}\Vert\psi_0\Vert _{L^1}\Vert\hat{\psi}_0\Vert _{L^1}\Vert\bar{F}_7\Vert _{L^\infty}$$

と評価され、よって $K^{(1)}_2$, $K_2$ は一様有界となる。

極限は、 $h(z-t/n)\rightarrow h(z)$ となるが、 $\bar{F}_7=\bar{F}_1-\bar{F}_0$ は $x=1$ で不連続なので、 後ろの積分を

$$\int_{-\infty}^{N_n+t}dy =\int_t^{N_n+t}dy +\int_{-\infty}^tdy$$

と分けることで、前の積分では $y>t$ より $\bar{F}_7\rightarrow \bar{F}_7(1-0)$, 後の積分では $t>y$ より $\bar{F}_7\rightarrow \bar{F}_7(1+0)$ となり、 $K^{(1)}_2$ の極限は Lebesgue 収束定理より

$$K^{(1)}_2 \rightarrow h(z)\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\p... ...ty\hat{\psi}_0(y)dy +\bar{F}_7(1+0)\int_{-\infty}^t\hat{\psi}_0(y)dy\right)dt$$

となる。よって、$K_2$ の極限は、

	$${K_2 \ \rightarrow\ (\tau+1)A_\tau h(z)}$$
			$$\times\left\{ \bar{F}_7(1-0)\left( \int_{\mbox{\scriptsize\boldma... ...criptsize\boldmath$R$}}\hat{\psi}_0(t)dt\int_t^\infty\psi_0(y)dy\right) \right.$$
			$$\left. +\bar{F}_7(1+0)\left( \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}... ...tsize\boldmath$R$}}\hat{\psi}_0(t)dt\int_{-\infty}^t\psi_0(y)dy\right) \right\}$$	(104)

となる。ここで、

  $$\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \int_{\mbox{\scriptsize\... ...size\boldmath$R$}}\psi_0(y)dy\int_y^\infty\hat{\psi}_0(t)dt \end{array}\right.$$ (105)

なので、一般に $\psi_1,\psi_2\in\mathcal{S}$ に対して

  $$R[\psi_1,\psi_2] = \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\psi_1(t) \left(\int_t^{\infty}\psi_2(y)dy -\int_{-\infty}^t\psi_2(y)dy\right)dt$$ (106)

と書くことにすると、(105) より

  $$R[\psi_1,\psi_2]=-R[\psi_2,\psi_1]$$ (107)

も容易にわかる。これにより (104) の極限は、

	$$K_2$$	$\rightarrow$	$$(\tau+1)A_\tau h(z)\{\bar{F}_7(1-0)R[\psi_0,\hat{\psi}_0] -\bar{F}_7(1+0)R[\psi_0,\hat{\psi}_0]\}$$
		$=$	$$-(\tau+1)A_\tau h(z)\left[\bar{F}_7(x)\right]_{1-0}^{1+0} R[\psi_0,\hat{\psi}_0]$$	(108)

と書ける。ここで、 $\bar{F}_7(x)=\bar{F}_1(x)-\bar{F}_0(x)$ の $x=1$ での段差は、 (39), (44) より

  $$\left[\bar{F}_7(x)\right]_{1-0}^{1+0} =\left[\bar{F}_1(x)-\bar{F}_0(x)\right]_{1-0}^{1+0} =-A_\tau$$ (109)

なので、よって (108) は

  $$K_2 \rightarrow K^\infty_2 = (\tau+1)A_\tau^2h(z)R[\psi_0,\hat{\psi}_0]$$ (110)

となることがわかる。

なお、この $R[\psi_0,\hat{\psi}_0]$ は、[3] の 6 節 の $(-I_5)$ に等しく、よって結論に重要な役割を果たすことに 注意する。

次は $K_3$。 係数を除いた半分の項 $K^{(1)}_3$ は、$K_2$ の場合と同様に考えると、

$$\begin{eqnarray*}\psi_n(w)\bar{G}_1[\hat{\Psi}_n] &=& n\psi_0(n(w-a))\int_0^\i... ...si_0(N_n+t)\int_0^\infty n\hat{\psi}_0(N_n(1-x)+t)\bar{F}_1(x) dx\end{eqnarray*}$$

であるが、さらに $N_n+t=s$ とすると

$$z-\,\frac{t}{n}=z+(w-z)-\,\frac{s}{n} = w-\,\frac{s}{n}$$

よりその積分は

$$\begin{eqnarray*}K^{(1)}_3 &=& \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}(w-z)h(a)\... ...\infty}^s\hat{\psi}_0(y) \bar{F}_1\left(\frac{s-y}{N_n}\right)dy\end{eqnarray*}$$

となる。よってこの場合も

$$\vert K^{(1)}_3\vert \leq \Vert h\Vert _{L^\infty}\Vert\psi_0\Vert _{L^1}\Vert\hat{\psi}_0\Vert _{L^1}\Vert\bar{F}_1\Vert _{L^\infty}$$

とおさえられて $K^{(1)}_3$, $K_3$ は一様有界となり、その極限は Lebesgue 収束定理より

$$K^{(1)}_3 \rightarrow h(w)\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\psi_0(s)ds\int_{-\infty}^s\hat{\psi}_0(y)dy\bar{F}_1(+0)$$

となる。よって $K_3$ の極限は、 (44), (106) より、

	$$K_3$$	$\rightarrow$	$$K^{\infty}_3 \ =\ (\tau+1)B_\tau h(w)\bar{F}_1(+0)$$
			$$\times\left( \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\psi_0(s)ds\int... ...ox{\scriptsize\boldmath$R$}}\hat{\psi}_0(s)ds\int_{-\infty}^s\psi_0(y)dy\right)$$
		$=$	$$(\tau+1)B_\tau^2 h(w)R[\psi_0,\hat{\psi}_0]$$	(111)

となることがわかる。

次は、$K_4$ の前に先に $K_5$ から考える。

$$\begin{eqnarray*}\psi_n(w)L[\hat{\Psi}_n] &=& n\psi_0(n(w-a))\int_0^\infty\hat... ...t_0^\infty n\hat{\psi}_0(N_n(1-x)+t) \xi(x)\log\vert x-1\vert dx\end{eqnarray*}$$

より、$\xi(x)$ の台が [1/2,3/2] に含まれることから、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ K^{(1)}_5 \ =\ \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R... ..._{1/2}^{3/2} N_n\hat{\psi}_0(s-N_nx) \xi(x)\log\vert x-1\vert dx\end{eqnarray*}$$

となる。 2 つ目の積分の頭にある $N_n$ は、 これまでのような $x$ から $y=s-N_n x$ での変数変換で消しても、 $\log$ の特異性が残ってしまうのでうまくいかない。 よってここでは $x>1/2$ を利用して、$N_n$ は $\hat{\psi}_0$ に 吸収させることを考える。 すなわち、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\psi_0(s)N_n\hat{\psi}_0(s-N_n x) \ =\ \psi_0(s)\,\... ...0,1}(s)\hat{\psi}_0(s-N_n x)-\psi_0(s)\hat{\psi}_{0,1}(s-N_n x)\}\end{eqnarray*}$$

により、

$$\vert K^{(1)}_5\vert \leq \Vert h\Vert _{L^\infty}\left(\Vert\psi... ...ht) \int_{1/2}^{3/2}\frac{\xi(x)}{x}\left\vert\log\vert x-1\vert\right\vert dx$$

となる。ここで、 $(\xi(x)\log\vert x-1\vert)/x$ は [1/2,3/2] で $L^1$ なので、 $K^{(1)}_5$, $K_5$ は一様有界となる。

極限は、

$$\hat{\psi}_0(s-N_n x)\rightarrow 0, \hspace{1zw}\hat{\psi}_{0,1}(s-N_n x)\rightarrow 0$$

より、Lebesgue 収束定理により $K^{(1)}_5, K_5$ は $n\rightarrow\infty$ に対して

  $$K^{(1)}_5\rightarrow 0,\hspace{1zw}K_5\rightarrow 0$$ (112)

となる。

次は $K_4$ に戻る。$K_5$ と同様に変形すると、

$$\begin{eqnarray*}K^{(1)}_4 &=& \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}(w-z)h(z)\... ...0^\infty N_n\hat{\psi}_0(N_n(1-x)+t) \xi(x)\log\vert x-1\vert dx\end{eqnarray*}$$

とできるが、 $(\xi(x)\log\vert x-1\vert)/(1-x)$ は $L^1$ ではないので、 $K_5$ とは違い $N_n$ を $\hat{\psi}_0$ に吸収させることはできない。 よって、この場合は $x$ の積分を $\mbox{\boldmath$R$}$ 全体に広げてから $N_n(1-x)+t = y$ と置換することで消すと、

$$K^{(1)}_4 = \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}h\left(z-\,\frac... ...) \xi\left(1+\frac{t-y}{N_n}\right)\log\left\vert\frac{t-y}{N_n}\right\vert dx$$

となる。 この式単独で有界性を示すのは難しいが、$K_4$ 全体で考えれば 可能である。 $\psi_0$, $\hat{\psi}_0$ を入れかえたもう一方の積分

$$\hat{K}^{(1)}_4 = \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}h\left(z-\... ...) \xi\left(1+\frac{t-y}{N_n}\right)\log\left\vert\frac{t-y}{N_n}\right\vert dy$$

において $t$ と $y$ を入れかえると、 $\xi(x)$ は $x=1$ で対称なので、

$$\begin{eqnarray*}\hat{K}^{(1)}_4 &=& \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}h\le... ...\frac{t-y}{N_n}\right)\log\left\vert\frac{t-y}{N_n}\right\vert dy\end{eqnarray*}$$

となり、よって

$$\begin{eqnarray*}K_4 &=& (\tau+1)A_\tau(K^{(1)}_4-\hat{K}^{(1)}_4) \ =\ (\t... ...\frac{t-y}{N_n}\right)\log\left\vert\frac{t-y}{N_n}\right\vert dy\end{eqnarray*}$$

となるが、命題 3 より、

	$${\left\vert h\left(z-\,\frac{t}{n}\right) -h\left(z-\,\frac{y}{n}... ...t-y}{N_n}\right) \left\vert\log\left\vert\frac{t-y}{N_n}\right\vert\right\vert}$$
		$\leq$	$$C_0\left(\left\vert\frac{t-y}{n}\right\vert^{2\tau} +\left\vert\f... ...{t-y}{N_n}\right) \left\vert\log\left\vert\frac{t-y}{N_n}\right\vert\right\vert$$
		$=$	$$C_0\left((w-z)^{2\tau}\left\vert\frac{t-y}{N_n}\right\vert^{2\tau... ...{t-y}{N_n}\right) \left\vert\log\left\vert\frac{t-y}{N_n}\right\vert\right\vert$$	(113)

となるが、今 $g_1(x)=g_1(x;d)$ を

  $$g_1(x) = g_1(x;d) = C_0(d^{2\tau}\vert x\vert^{2\tau}+d\vert x\vert) \xi(1+x)\left\vert\log\vert x\vert\right\vert$$ (114)

とすると、$g_1(x)$ は非負、連続、かつ上に有界な関数となる。 これにより (113) は、

	$${ \left\vert h\left(z-\,\frac{t}{n}\right) -h\left(z-\,\frac{y}{n... ...t-y}{N_n}\right) \left\vert\log\left\vert\frac{t-y}{N_n}\right\vert\right\vert}$$
		$\leq$	$$g_1\left(\frac{t-y}{N_n};w_1-z_1\right)$$	(115)

となるので、よってこの左辺は $w,z\in [z_1,w_1]$ 上有界となり、 よって $K_4$ は一様有界となることがわかる。

$K_4$ の極限は、(115) の左辺は $g_1(0)=0$ より 0 に収束するので、 Lebesgue 収束定理により

  $$K_4\rightarrow 0$$ (116)

となる。

次は、$P[\Psi_n]$ の含まれる $K_6$ は後回しにして、 $K_7$ を先に考える。

$$\begin{eqnarray*}K^{(1)}_7 &=& \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}(w-z)h(a)\... ...s \int_0^\infty \psi_0(W_n-N_n\bar{x})\bar{F}_7(\bar{x})d\bar{x}\end{eqnarray*}$$

この 3 つの積分でそれぞれ置換をすれば $n$ は むしろひとつ余計に消せるのであるが、 そうすると一番外の積分で $n$ によらない $L^1$ 関数が取れなくなる。

よって、まず $a$ と $x$ に関して $n(w-a)=W_n=s$ と $W_n-N_n x=s-N_n x=y$ によって 置換をすることで $n^2$ を消すようにすると、

$$K^{(1)}_7 = \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}h\left(w-\,\frac... ...-y}{N_n}\right)dy \int_0^\infty \psi_0(s-N_n\bar{x})\bar{F}_7(\bar{x})d\bar{x}$$

となり、これは $n$ を固定すれば当然可積分であるから Fubini の定理より、

$$\begin{eqnarray*}K^{(1)}_7 &=& \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\hat{\psi}... ...t) \bar{F}_0\left(\frac{s-y}{N_n}\right) \psi_0(s-N_n\bar{x})ds\end{eqnarray*}$$

とできるが、 $\hat{\psi}_0\in L^1(\mbox{\boldmath$R$})$, $\bar{F}_7\in L^1(0,\infty)$ であり、 最後の $s$ の積分も、 $s-N_n\bar{x}=t$ と置換すれば すべての積分で $n$ によらない $L^1$ 関数が取れることになる:

$$\begin{eqnarray*}K^{(1)}_7 &=& \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\hat{\psi}... ...ight) \bar{F}_0\left(\frac{t-y}{N_n}+\bar{x}\right) \psi_0(t)dt\end{eqnarray*}$$

これで、

$$\vert K^{(1)}_7\vert \leq \Vert\hat{\psi}_0\Vert _{L^1}\Vert\bar{... ...\Vert h\Vert _{L^\infty}\Vert\bar{F}_0\Vert _{L^\infty}\Vert\psi_0\Vert _{L^1}$$

と評価されるので、$K^{(1)}_7$, $K_7$ が一様有界となる。

極限は、$\bar{x}>0$ より $y-N_n\bar{x}\rightarrow -\infty$ であり、また

$$h\left(w-(w-z)\bar{x}-\,\frac{t}{n}\right) \rightarrow h(w-(w-z)\... ...zw}\bar{F}_0\left(\frac{t-y}{N_n}+\bar{x} \right)\rightarrow\bar{F}_0(\bar{x})$$

となるので Lebesgue 収束定理より、

$$\begin{eqnarray*}K^{(1)}_7 &\rightarrow& K^{(1),\infty}_7 \\ &=& \int_{\mbox... ...y \bar{F}_0(\bar{x})\bar{F}_7(\bar{x}) h(w-(w-z)\bar{x})d\bar{x}\end{eqnarray*}$$

となる。そしてこの極限は $\psi_0$ と $\hat{\psi}_0$ を 入れかえても値は変わらないので、

  $$K_7 =(\tau+1)^2(K^{(1)}_7-\hat{K}^{(1)}_7) \rightarrow (\tau+1)^2(K^{(1),\infty}_7-\hat{K}^{(1),\infty}_7) = 0$$ (117)

となる。

次は $K_8$。これは今の $K_7$ と同じように評価できる。

$$\begin{eqnarray*}K^{(1)}_8 &=& \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}(w-z)h(a)\... ...t) \bar{F}_8\left(\frac{s-y}{N_n}\right) \psi_0(s-N_n\bar{x})ds\end{eqnarray*}$$

とすると、 $\hat{\psi}_0\in L^1(\mbox{\boldmath$R$})$, $\xi(x)\log\vert x-1\vert\in L^1(\mbox{\boldmath$R$})$ なので、 最後の積分で $s-N_n\bar{x}=t$ とすれば、

$$\begin{eqnarray*}K^{(1)}_8 &=& \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\hat{\psi}... ...ight) \bar{F}_8\left(\frac{t-y}{N_n}+\bar{x}\right) \psi_0(t)dt\end{eqnarray*}$$

となるので、

$$\vert K^{(1)}_8\vert \leq \Vert\hat{\psi}_0\Vert _{L^1}\Vert\xi(x... ...\Vert h\Vert _{L^\infty}\Vert\bar{F}_8\Vert _{L^\infty}\Vert\psi_0\Vert _{L^1}$$

でおさえられ、$K^{(1)}_8$, $K_8$ は一様有界となる。

$n\rightarrow\infty$ の極限は、Lebesgue 収束定理より、

$$\begin{eqnarray*}K^{(1)}_8 &\rightarrow& K^{(1),\infty}_8 \\ &=& \int_{\mbox... ...)\bar{F}_8(\bar{x}) \xi(\bar{x})\log\vert\bar{x}-1\vert d\bar{x}\end{eqnarray*}$$

となり、$\psi_0$, $\hat{\psi}_0$ の入れかえでこの極限は 変わらないので、

  $$K_8=(\tau+1)^2(K^{(1)}_8-\hat{K}^{(1)}_8) \rightarrow (\tau+1)^2(K^{(1),\infty}_8-\hat{K}^{(1),\infty}_8) = 0$$ (118)

となる。

以上で、$P[\Psi_n]$ を含む $K_6$, $K_9$, $K_{10}$ 以外の評価は すべて終わったことになり、いずれも一様有界で、 (110), (111) の $K_2$, $K_3$ 以外は すべて 0 に収束することがわかった。