10 K₉ の評価

次は $K_9$ の評価を行うが、これは評価がやや難しい。 先に $K_9$ の分割や変数変換などをやっておく。 なお、本節では $\hat{\psi}_0$ への $n$ の取り込みは うまくいかないので、$P[\Psi_n]$ も 9 節とは 違う形に分けて考える。

まず、 $0<\delta (<1/2)$ に対して、9 節の (119) を

$$P[\Psi_n] = \int_{\vert x-1\vert<\delta}\xi(x)\,\frac{\Psi_n(x)-\... ...}\,dx +\int_{\vert x-1\vert>\delta}\xi(x)\,\frac{\Psi_n(x)-\Psi_n(1)}{x-1}\,dx$$

と 2 つに分けると、$\xi(x)/(x-1)$ は $x=1$ で奇対称なので、

$$P[\Psi_n] = \int_{\vert x-1\vert<\delta}\xi(x)\,\frac{\Psi_n(x)-\Psi_n(1)}{x-1}\,dx +\int_{\vert x-1\vert>\delta}\xi(x)\,\frac{\Psi_n(x)}{x-1}\,dx$$

となり、さらに $n(z-a)=t$, $N_n(x-1)=\bar{s}$, $\delta=1/N_n$ とすると、

	$$P[\Psi_n]$$	$=$	$$n\int_{\vert\bar{s}\vert<1}\xi\left(1+\frac{\bar{s}}{N_n}\right)\, \frac{\psi_0(t-\bar{s})-\psi_0(t)}{\bar{s}}\,d\bar{s}$$
			$$+n\int_{\vert\bar{s}\vert>1}\xi\left(1+\frac{\bar{s}}{N_n}\right)\, \frac{\psi_0(t-\bar{s})}{\bar{s}}\,d\bar{s}$$	(122)

となる。これにより、$K_9$ の係数を除いた半分 $K^{(1)}_9$ を 以下のように分けることができる。

	$$K^{(1)}_9$$	$=$	$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}(w-z)h(a)\bar{G}_7[\Psi_n]P[\hat{\Psi}_n]da$$
		$=$	$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}h\left(z-\,\frac{t}{n}\right)dt \int_0^\infty N_n\psi_0(N_n(1-\bar{x})+t)\bar{F}_7(\bar{x}) d\bar{x}$$
			$$\hspace{0.5zw}\times \int_{\vert\bar{s}\vert<1}\xi\left(1+\frac{\... ..._n}\right)\, \frac{\hat{\psi}_0(t-\bar{s})-\hat{\psi}_0(t)}{\bar{s}}\, d\bar{s}$$
			$$+\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}h\left(z-\,\frac{t}{n}\right)dt \int_0^\infty N_n\psi_0(N_n(1-\bar{x})+t)\bar{F}_7(\bar{x}) d\bar{x}$$
			$$\hspace{0.5zw}\times \int_{\vert\bar{s}\vert>1}\xi\left(1+\frac{\bar{s}}{N_n}\right)\, \frac{\hat{\psi}_0(t-\bar{s})}{\bar{s}}\,d\bar{s}$$
		$=$	$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}h\left(z-\,\frac{t}{n}\right)dt \int_{-\infty}^{N_n+t}\psi_0(y) \bar{F}_7\left(1+\frac{t-y}{N_n}\right)dy$$
			$$\hspace{0.5zw}\times \int_{\vert\bar{s}\vert<1}\xi\left(1+\frac{\... ..._n}\right)\, \frac{\hat{\psi}_0(t-\bar{s})-\hat{\psi}_0(t)}{\bar{s}}\, d\bar{s}$$
			$$+\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}h\left(z-\,\frac{t}{n}\right)dt \int_{-\infty}^{N_n+t}\psi_0(y) \bar{F}_7\left(1+\frac{t-y}{N_n}\right)dy$$
			$$\hspace{0.5zw}\times \int_{\vert\bar{s}\vert>1}\xi\left(1+\frac{\bar{s}}{N_n}\right)\, \frac{\hat{\psi}_0(t-\bar{s})}{\bar{s}}\,d\bar{s}$$
		$=$	$$K^{(1)}_{9,1}+K^{(1)}_{9,2}+K^{(1)}_{9,3}+K^{(1)}_{9,4}$$	(123)

ここで、(123) の $K^{(1)}_{9,1}$ は 最初の積分で $\bar{s}$ に関して $\vert\bar{s}\vert<1$ での積分、 $K^{(1)}_{9,2},K^{(1)}_{9,3},K^{(1)}_{9,4}$ は $\vert\bar{s}\vert>1$ に関する積分の $h(z-t/n)$ の部分を さらに 3 つに分けたもので、それぞれ

$$h\left(z-\,\frac{t}{n}\right) = \left\{h\left(z-\,\frac{t}{n}\rig... ...right)\right\} +\left\{h\left(z-\,\frac{\bar{s}}{n}\right) -h(z)\right\} +h(z)$$

のように分けたものを持つものとする。

まずは $K^{(1)}_{9,1}$ の評価を考える。これは、

	$${ \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}dt\int_{\vert\bar{s}\vert<... ...ft\vert\int_0^1\{-\hat{\psi}_0'(t-\bar{s}\theta)\} d\theta\right\vert d\bar{s}}$$
		$\leq$	$$\int_{\vert\bar{s}\vert<1}\int_0^1 d\theta \int_{\mbox{\scriptsiz... ...hat{\psi}_0'(t-\bar{s}\theta)\vert dt \ \leq \ 2\Vert\hat{\psi}_0'\Vert _{L^1}$$	(124)

より、この分数部分は $t,\bar{s}$ に関して $L^1$ であり、 $y$ に関しては $\psi_0(y)$ が $L^1$ なので、

$$\vert K^{(1)}_{9,1}\vert \leq 2\Vert h\Vert _{L^\infty}\Vert\psi_0\Vert _{L^1} \Vert\bar{F}_7\Vert _{L^\infty}\Vert\hat{\psi}_0'\Vert _{L^1}$$

となって $K^{(1)}_{9,1}$ は一様有界であることがわかる。

その $n\rightarrow\infty$ に対する極限は、$y$ に関する積分を

$$\int_{-\infty}^{N_n+t} dy = \int_{-\infty}^{t} dy + \int_t^{N_n+t} dy$$

と分けることで、

	$$K^{(1)}_{9,1}$$	$\rightarrow$	$$K^{(1),\infty}_{9,1} \ =\ h(z)\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\left( \bar{F}_7(1+0)\int_{-\infty}^t\psi_0(y)dy \right.$$
			$$\left. +\bar{F}_7(1-0)\int_t^{\infty}\psi_0(y)dy\right)dt \int_{\vert\bar{s}\vert<1}\frac{\psi_0(t-\bar{s})-\psi_0(t)} {\bar{s}}\,d\bar{s}$$	(125)

となることがわかる。この極限の考察、 および $K^{(1)}_{9,1}$ の $\psi_0$ と $\hat{\psi}_0$ を 入れかえた $\hat{K}^{(1)}_{9,1}$ の極限 $\hat{K}^{(1),\infty}_{9,1}$ との差に関する検討は、 あとでまとめて行うことにする。

次は $K^{(1)}_{9,2}$。この評価には、 命題 3 による

	$${ \left\vert h\left(z-\,\frac{t}{n}\right) -h\left(z-\,\frac{\bar... ...ar{s}}{n}\right\vert^{2\tau} +\left\vert\frac{t-\bar{s}}{n}\right\vert\right) }$$
		$\leq$	$$C_0\left\{ (w_1-z_1)^{2\tau}\left\vert\frac{t-\bar{s}}{N_n}\right\vert^{2\tau} +(w_1-z_1)\left\vert\frac{t-\bar{s}}{N_n}\right\vert \right\}$$	(126)

となる。

$\vert\bar{s}\vert>1$ に関する積分に関しては、$N_n\geq 2$ の場合は、 $\bar{s}=N_n u$ により、

$$\int_{\vert\bar{s}\vert>1}\left\vert\frac{1}{\bar{s}}\, \xi\left... ...}\right\vert du \leq 2\int_{1/N_n}^{1/2}\frac{du}{u} \leq 2\log\frac{N_n}{2}$$

となり、また $0<N_n<2$ の場合は $\vert\bar{s}\vert>1$ に対して $\vert\bar{s}/N_n\vert>1/2$ となるから
$\xi(1+\bar{s}/N_n)=0$ となり、結局すべての $N_n>0$ に対して

  $$\int_{\vert\bar{s}\vert>1}\left\vert\frac{1}{\bar{s}}\, \xi\lef... ..._n}\right)\right\vert d\bar{s} \leq \max\left\{2\log\frac{N_n}{2},\ 0\right\}$$ (127)

となることがわかる。 ここに (126) の項の積の $t$ での積分を追加すると

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}dt\int_{\vert\b... ..._n}{2},\ 0\right\} \ \leq \ C_4\Vert t\hat{\psi}_0\Vert _{L^1}\end{eqnarray*}$$

と評価できる。

$K^{(1)}_{9,2}$ はここに $\psi_0(y)\bar{F}_7$ の $y$ での積分が つくので、よって

	$$\vert K^{(1)}_{9,2}\vert$$	$\leq$	$$\Vert\psi_0\Vert _{L^1}\Vert\bar{F}_7\Vert _{L^\infty} \left\{\le... ...}\hat{\psi}_0\Vert _{L^1} +\frac{1}{N_n}\Vert t\hat{\psi}_0\Vert _{L^1}\right\}$$
			$$\hspace{0.5zw}\times \max\left\{2\log\frac{N_n}{2},\ 0\right\}$$	(128)
		$\leq$	$$\Vert\psi_0\Vert _{L^1}\Vert\bar{F}_7\Vert _{L^\infty} \left\{C_3... ...ert^{2\tau}\hat{\psi}_0\Vert _{L^1} +C_4\Vert t\hat{\psi}_0\Vert _{L^1}\right\}$$	(129)

と評価され、よって一様有界であることがわかる。

$K^{(1)}_{9,2}$ の極限は、 $n\rightarrow\infty$ とすれば $N_n\rightarrow\infty$ となり、 (128) で

$$\left(\frac{1}{N_n}\right)^{2\tau} \max\left\{2\log\frac{N_n}{2},... ...space{1zw}\frac{1}{N_n} \max\left\{2\log\frac{N_n}{2},\ 0\right\}\rightarrow 0$$

となるので、

  $$K^{(1)}_{9,2}\rightarrow 0$$ (130)

となる。

次は $K^{(1)}_{9,3}$。この場合も、 命題 3 により、

  $$\left\vert h\left(z-\,\frac{\bar{s}}{n}\right) - h(z)\right\vert... ...\right\vert^{2\tau} +(w_1-z_1)\left\vert\frac{\bar{s}}{N_n}\right\vert\right\}$$ (131)

となるので、$\bar{s}=N_n u$ により

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}dt\int_{\vert\b... ...(t-N_n u)\right\vert dt \ \leq \ \Vert\hat{\psi}_0\Vert _{L^1}\end{eqnarray*}$$

と評価できる。よって、

$$\vert K^{(1)}_{9,3}\vert \leq C_5\Vert\psi_0\Vert _{L^1}\Vert\bar{F}_7\Vert _{L^\infty} \Vert\hat{\psi}_0\Vert _{L^1}$$

となり、一様有界となる。

$K^{(1)}_{9,3}$ の極限は、$\bar{s}=N_n u$, $t-\bar{s}=t-uN_n=\bar{t}$ により、

$$\begin{eqnarray*}K^{(1)}_{9,3} &=& \int_{\vert\bar{s}\vert>1}\frac{1}{\bar{s}}... ...r{t}}\psi_0(y) \bar{F}_7\left(1+u+\frac{\bar{t}-y}{N_n}\right)dy\end{eqnarray*}$$

となるが、$1+u>1/2$ より $N_n(1+u)+\bar{t}\rightarrow\infty$ で、

$$\xi(1+u)\,\frac{h(z-(w-z)u)-h(z)}{u}$$

は命題 3 より $u$ に関して $[-1/2,1/2]$ で $L^1$, $\hat{\psi}_0(\bar{t})$ と $\psi_0(y)$ は $\mbox{\boldmath$R$}$ 上 $L^1$ なので、 Lebesgue 収束定理が適用でき、

	$$K^{(1)}_{9,3}$$	$\rightarrow$	$$K^{(1),\infty}_{9,3} \ =\ \int_{\vert u\vert\leq 1/2}\xi(1+u)\,\frac{h(z-(w-z)u)-h(z)}{u}\, \bar{F}_7(1+u)du$$
			$$\hspace{0.5zw}\times \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\hat{\psi}_0(\bar{t})d\bar{t} \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\psi_0(y)dy$$	(132)

となることがわかる。しかし、この極限 $K^{(1),\infty}_{9,3}$ は、 $\psi_0$ と $\hat{\psi}_0$ の入れかえで値が変わらないので、 $\hat{K}^{(1)}_{9,3}$ の極限 $\hat{K}^{(1),\infty}_{9,3}$ も 同じものになる。よって、

  $$K^{(1)}_{9,3}-\hat{K}^{(1)}_{9,3}\rightarrow 0$$ (133)

となる。

最後は $K^{(1)}_{9,4}$。 しかし、これは単独では有界性は得られないので、 $\psi_0$, $\hat{\psi}_0$ を入れかえた $\hat{K}^{(1)}_{9,4}$ との 差 $K^{(1)}_{9,4}-\hat{K}^{(1)}_{9,4}=K_{9,4}$ の有界性を考える。 $t-y=\bar{y}$ により、

	$$K_{9,4}$$	$=$	$$h(z)\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}dt \int_{-N_n}^{\infty}\bar{F}_7\left(1+\frac{\bar{y}}{N_n} \right)d\bar{y}$$
			$$\hspace{0.5zw}\times \int_{\vert\bar{s}\vert>1}\frac{1}{\bar{s}}\... ...{y})\hat{\psi}_0(t-\bar{s}) -\hat{\psi}_0(t-\bar{y})\psi_0(t-\bar{s})\}d\bar{s}$$
		$=$	$$h(z) \int_{-N_n}^{\infty}\bar{F}_7\left(1+\frac{\bar{y}}{N_n} \ri... ...frac{1}{\bar{s}}\, \xi\left(1+\frac{\bar{s}}{N_n}\right)K^{(2)}_{9,4}\,d\bar{s}$$	(134)

とすると $K^{(2)}_{9,4}$ は

$$\begin{eqnarray*}K^{(2)}_{9,4} &=& \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}} \{\p... ... -\hat{\psi}_0(\bar{t})\psi_0(\bar{t}+\bar{y}-\bar{s})\}d\bar{t}\end{eqnarray*}$$

となるが、ここで $\phi_1,\phi_2\in\mathcal{S}$ に対して

  $$S[\phi_1,\phi_2](x) = \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\{\phi_1(y)\phi_2(y+x)-\phi_2(y)\phi_1(y+x)\}dy$$ (135)

と書くことにすると $K^{(2)}_{9,4}=S[\psi_0,\hat{\psi}_0](\bar{y}-\bar{s})$ となるが、 $S[\phi_1,\phi_2](x)$ は以下の性質を持つことが容易に示される。

• $S[\phi_1,\phi_2](x)\in\mathcal{S}$
• $S[\phi_2,\phi_1](x)=-S[\phi_1,\phi_2](x)$
• $S[\phi_1,\phi_2](-x)=-S[\phi_1,\phi_2](x)$ (奇関数)
• $$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}S[\phi_1,\phi_2](x)dx = 0$$

そして、最後の性質より、

  $$\bar{S}[\phi_1,\phi_2](x) = \int_{-\infty}^x S[\phi_1,\phi_2](y)dy$$ (136)

とすると $\bar{S}[\phi_1,\phi_2](x)\in\mathcal{S}$ で、 $\bar{S}[\phi_1,\phi_2](x)$ は偶関数となることも容易に示される。 これを用いて、(134) の $K^{(2)}_{9,4}$ を含む $\bar{s}$ での積分 $K^{(3)}_{9,4}$ を部分積分する。

簡単に $S[\psi_0,\hat{\psi}_0](x)=S(x)$, $\bar{S}[\psi_0,\hat{\psi}_0](x)=\bar{S}(x)$ と書くことにすると、

$$\begin{eqnarray*}K^{(3)}_{9,4} &=& \int_{\vert\bar{s}\vert>1}\frac{1}{\bar{s}}... ...ft(1+\frac{\bar{s}}{N_n}\right) \bar{S}(\bar{y}-\bar{s})d\bar{s}\end{eqnarray*}$$

となる。ここで、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\left(\frac{1}{\bar{s}}\, \xi\left(1+\frac{\bar{s}}{N... ...rac{\bar{s}}{N_n}\,\xi'\left(1+\frac{\bar{s}}{N_n}\right)\right\}\end{eqnarray*}$$

より、

  $$\bar{\xi}(x) = -\xi(x)+(x-1)\xi'(x)$$ (137)

とした。$\bar{\xi}$ も $\xi$ 同様、 台が [1/2,3/2] に含まれる $C^\infty$ 級の関数となる。 これにより、(134) は、

	$$K_{9,4}$$	$=$	$$h(z)\int_{-N_n}^\infty \bar{F}_7 \left(1+\frac{\bar{y}}{N_n}\right) K^{(3)}_{9,4}d\bar{y}$$
		$=$	$$h(z)\xi\left(1+\frac{1}{N_n}\right) \int_{-N_n}^\infty \bar{F}_7 ... ...(1+\frac{\bar{y}}{N_n}\right) \{\bar{S}(\bar{y}-1)+\bar{S}(\bar{y}+1)\}d\bar{y}$$
			$$+ h(z)\int_{-N_n}^\infty \bar{F}_7 \left(1+\frac{\bar{y}}{N_n}\ri... ...\, \bar{\xi}\left(1+\frac{\bar{s}}{N_n}\right) \bar{S}(\bar{y}-\bar{s})d\bar{s}$$	(138)

となる。この最後の和を $K_{9,4,1}+K_{9,4,2}$ とする。

$\bar{S}(x)=\bar{S}[\psi_0,\hat{\psi}_0](x)$ は $n$ には よらない $\mathcal{S}$ の関数なので、$K_{9,4,1}$ は

$$\vert K_{9,4,1}\vert\leq 2\Vert h\Vert _{L^\infty}\Vert\bar{F}_7\Vert _{L^\infty} \Vert\bar{S}[\psi_0,\hat{\psi}_0]\Vert _{L^1}$$

より一様有界、$K_{9,4,2}$ も $1/\bar{s}^2$ が $\vert\bar{s}\vert>1$ で 可積分 (積分値は 2) なので、

$$\vert K_{9,4,2}\vert\leq 2\Vert h\Vert _{L^\infty}\Vert\bar{F}_7\... ... \Vert\bar{\xi}\Vert _{L^\infty} \Vert\bar{S}[\psi_0,\hat{\psi}_0]\Vert _{L^1}$$

と評価され一様有界となる。よって $K_{9,4}$ は一様有界となる。

$K_{9,4}$ の極限は、(138) に Lebesgue 収束定理を適用すれば、

  $$K_{9,4} \rightarrow K^{\infty}_{9,4} = h(z) \left(\bar{F}_7... ... + \bar{F}_7(1+0)\int_0^{\infty}\right) K^{(4),\infty}_{9,4}(\bar{y})d\bar{y}$$ (139)

となることがわかる。ここで、 $K^{(4),\infty}_{9,4}(\bar{y})$ は、

  $$K^{(4),\infty}_{9,4}(\bar{y}) =\bar{S}(\bar{y}-1)+\bar{S}(\bar{... ...nt_{\vert\bar{s}\vert>1}\frac{1}{\bar{s}^2}\, \bar{S}(\bar{y}-\bar{s})d\bar{s}$$ (140)

とした。 なお、(137) より $\bar{\xi}(1)=-\xi(1)=-1$ で ある。

$\bar{S}$ は偶関数なので、 (140) は、

$$\begin{eqnarray*}K^{(4),\infty}_{9,4}(-\bar{y}) &=& \bar{S}(-\bar{y}-1)+\bar{S... ...^2}\, \bar{S}(\bar{y}-s)ds \ =\ K^{(4),\infty}_{9,4}(\bar{y})\end{eqnarray*}$$

となるので $K^{(4),\infty}_{9,4}(\bar{y})$ は偶関数であり、 よって (139) の $K^{\infty}_{9,4}$ は、

$$\begin{eqnarray*}K^{\infty}_{9,4} &=& h(z)\{\bar{F}_7(1-0)+\bar{F}_7(1+0)\} ... ...x{\scriptsize\boldmath$R$}}K^{(4),\infty}_{9,4}(\bar{y})d\bar{y} \end{eqnarray*}$$

と書ける。そして、

$$\begin{eqnarray*}\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}K^{(4),\infty}_{9,4}(\bar{... ...dy - 2\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\bar{S}(y)dy \ =\ 0\end{eqnarray*}$$

なので、

  $$K_{9,4}\rightarrow K^{\infty}_{9,4} = 0$$ (141)

となることがわかる。

これで一応 $K_9$ の有界性、極限が揃ったことになるので、 極限をまとめてみると、

	$$K_9$$	$=$	$$(\tau+1)(K^{(1)}_9-\hat{K}^{(1)}_9)$$
		$=$	$$(\tau+1)\{(K^{(1)}_{9,1}-\hat{K}^{(1)}_{9,1}) +(K^{(1)}_{9,2}-\hat{K}^{(1)}_{9,2}) +(K^{(1)}_{9,3}-\hat{K}^{(1)}_{9,3}) +K_{9,4}\}$$
		$\rightarrow$	$$K^\infty_9 = (\tau+1)(K^{(1),\infty}_{9,1}-\hat{K}^{(1),\infty}_{9,1})$$	(142)

となる。あとは $K^{(1)}_{9,1}$ の極限 $K^{(1),\infty}_{9,1}$ であるが、 (125) の $h(z)\bar{F}_7(1+0)$ の係数を $K^{(2),\infty}_{9,1}$ とすると、

$$K^{(2),\infty}_{9,1} = \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\left... ...{s}\vert<1}\frac{\hat{\psi}_0(t-\bar{s}) -\hat{\psi}_0(t)}{\bar{s}}\right\}dt$$

であるが、 $\{\hat{\psi}_0(t-\bar{s})-\hat{\psi}_0(t)\}/\bar{s}$ が $\vert\bar{s}\vert<1$ 上 $t$, $\bar{s}$ に関して $L^1$ だから、 Fubini の定理により、

$$K^{(2),\infty}_{9,1} = \int_{\vert\bar{s}\vert<1}\frac{d\bar{s}}{... ...$R$}}\{\hat{\psi}_0(t-\bar{s})-\hat{\psi}_0(t)\}dt \int_{-\infty}^t\psi_0(y)dy$$

と書くことができる。ここで、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\{\hat{\psi}_0(... ...$R$}}\hat{\psi}_0(t)dt \int_0^{\bar{s}}\psi_0(t+\bar{y})d\bar{y}\end{eqnarray*}$$

と変形できるので、 $K^{(2),\infty}_{9,1}$ は

$$\begin{eqnarray*}K^{(2),\infty}_{9,1} &=& \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}... ...\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\hat{\psi}_0(t)\psi_0(t+\bar{y})dt\end{eqnarray*}$$

となる。よって、 $K^{(1),\infty}_{9,1}-\hat{K}^{(1),\infty}_{9,1}$ の $h(z)\bar{F}_7(1+0)$ の係数 $K^{(2),\infty}_{9,1} -\hat{K}^{(2),\infty}_{9,1}$ は、

$$\begin{eqnarray*}K^{(2),\infty}_{9,1}-\hat{K}^{(2),\infty}_{9,1} &=& \int_{-1}... ...1}^1S[\psi_0,\hat{\psi}_0](\bar{y})\log\vert\bar{y}\vert d\bar{y}\end{eqnarray*}$$

となる。

同様に、 $K^{(1),\infty}_{9,1}$ の $h(z)\bar{F}_7(1-0)$ の係数 $K^{(3),\infty}_{9,1}$ は、

$$K^{(3),\infty}_{9,1} = \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\left... ...{s}\vert<1}\frac{\hat{\psi}_0(t-\bar{s}) -\hat{\psi}_0(t)}{\bar{s}}\right\}dt$$

であり、 $K^{(2),\infty}_{9,1}$ と同様に変形すると、

$$\begin{eqnarray*}K^{(3),\infty}_{9,1} &=& \int_{\vert\bar{s}\vert<1}\frac{d\ba... ...(t)dt\int_t^{t+\bar{s}}\psi_0(y)dy \ =\ - K^{(2),\infty}_{9,1}\end{eqnarray*}$$

であることがわかる。よって、

$$K^{(3),\infty}_{9,1}-\hat{K}^{(3),\infty}_{9,1} = - (K^{(2),\infty}_{9,1}-\hat{K}^{(2),\infty}_{9,1})$$

となるので、これにより $K^{(1),\infty}_{9,1}-\hat{K}^{(1),\infty}_{9,1}$ は (109) より、

$$\begin{eqnarray*}K^{(1),\infty}_{9,1}-\hat{K}^{(1),\infty}_{9,1} &=& h(z)\{\ba... ...1}^1S[\psi_0,\hat{\psi}_0](\bar{y})\log\vert\bar{y}\vert d\bar{y}\end{eqnarray*}$$

となる。 ところが、 $S[\psi_0,\hat{\psi}_0](\bar{y})$ は奇関数なので、 この最後の積分は 0 となり、 よって $K_9$ の極限 $K^\infty_{9}$ は、

  $$K^\infty_9 =(\tau+1)(K^{(1),\infty}_{9,1}-\hat{K}^{(1),\infty}_{9,1}) = 0$$ (143)

となる。