6.3 n が偶数、m が奇数の場合

次は、$n$ が偶数で、$m$ が奇数の場合を考える。 $n=2\nu$, $m=2\mu-1$ とすると、 $2\nu\geq 2\mu-1$ より $\nu\geq\mu$ であり、 $\mu=1$ のときは (3) より無限大となるから、 ここでは $\nu\geq\mu\geq 2$ であるとする。

(5) より、

  $\displaystyle
I_{2\nu,2\mu-1} = \frac{1}{(2\mu-2)!}
\int_0^\infty\frac{(\sin^{2\nu}x)^{(2\mu-2)}}{x}\,dx
\hspace{1zw}(\nu\geq\mu\geq 2)$ (24)
であり、補題 2, 3 より、
$\displaystyle {(\sin^{2\nu}x)^{(2\mu-2)}
\ =\
\left\{\frac{1}{2^{2\nu-1}}\sum_...
...}
\!\!2\nu\!\! \\  \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)\cos 2jx\right\}^{(2\mu-2)}}$
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{(-1)^{\mu-1}}{2^{2\nu-1}}\sum_{j=1}^\nu(-1)^{j}
\left(\begin{array}{c}
\!\!2\nu\!\! \\  \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j)^{2\mu-2}\cos 2jx$ (25)

となる。ここで、 $x\rightarrow +0$ に対し、

$\displaystyle (\sin^{2\nu}x)^{(2\mu-2)} = O(x^{2\nu-2\mu+2})
$

なので、$\nu\geq\mu$ より (25) で $x=0$ とすると、
  $\displaystyle
0
=
\frac{(-1)^{\mu-1}}{2^{2\nu-1}}\sum_{j=1}^\nu(-1)^{j}
\left(\begin{array}{c}
\!\!2\nu\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j)^{2\mu-2}$ (26)
となることがわかる。 すなわち、(25) の $\cos 2jx$ の係数の和が 0 と なるので、補題 1 と (24), (25) より
$\displaystyle I_{2\nu,2\mu-1}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{(-1)^{\mu-1}}{(2\mu-2)!}\,\frac{1}{2^{2\nu-1}}
\int_0^\inft...
...u\!\! \\  \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j)^{2\mu-2}\,\frac{\cos 2jx}{x}\,dx$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{(-1)^\mu}{(2\mu-2)!\,2^{2\nu-1}}\sum_{j=1}^\nu(-1)^{j}
\lef...
...rray}{c}
\!\!2\nu\!\! \\  \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j)^{2\mu-2}\log(2j)$ (27)

が得られる。さらに、(26) により、 最後の $\log(2j)$ の部分は、
  $\displaystyle
I_{2\nu,2\mu-1}
=
\frac{(-1)^\mu}{(2\mu-2)!\,2^{2\nu-1}}\sum_...
...{array}{c}
\!\!2\nu\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j)^{2\mu-2}\log j$ (28)
とすることもできる ($j=1$ の項は $\log 1 = 0$ により消える)。 元の $n$, $m$ で表すと、
$\displaystyle I_{n,m}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{(-1)^{\mu}}{(m-1)!\,2^{n-1}}
\sum_{j=2}^\nu(-1)^{j}
\left(\begin{array}{c}
\!\!n\!\! \\  \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j)^{m-1}\log j$ (29)
    $\displaystyle (\mu=(m+1)/2,\ \nu=n/2)$  

となる。

竹野茂治@新潟工科大学
2020-12-17