6.2 n,m がともに偶数の場合

次に、$n$,$m$ がともに偶数の場合を考える。 $n=2\nu$, $m=2\mu$ とすると、(5) より、
  $\displaystyle
I_{2\nu,2\mu} = \frac{1}{(2\mu-1)!}
\int_0^\infty\frac{(\sin^{2\nu}x)^{(2\mu-1)}}{x}\,dx
\hspace{1zw}(\nu\geq\mu\geq 1)$ (20)
となる。補題 2, 3 より、
$\displaystyle {(\sin^{2\nu}x)^{(2\mu-1)}
\ =\
\left\{\frac{1}{2^{2\nu-1}}\sum_...
...}
\!\!2\nu\!\! \\  \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)\cos 2jx\right\}^{(2\mu-1)}}$
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{(-1)^{\mu}}{2^{2\nu-1}}\sum_{j=1}^\nu(-1)^{j}
\left(\begin{array}{c}
\!\!2\nu\!\! \\  \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j)^{2\mu-1}\sin 2jx$ (21)

となる。よって、(9), (20) より、
  $\displaystyle
I_{2\nu,2\mu}
= \frac{(-1)^\mu}{(2\mu-1)!\,2^{2\nu-1}}
\sum_{...
...}
\!\!2\nu\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j)^{2\mu-1}\,\frac{\pi}{2}$ (22)
が得られる。 元の $n$, $m$ で表すと、
$\displaystyle I_{n,m}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{(-1)^{\mu}}{(m-1)!\,2^{n-1}}
\sum_{j=1}^\nu(-1)^{j}
\left(\...
...ray}{c}
\!\!n\!\! \\  \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j)^{m-1}\,\frac{\pi}{2}$ (23)
    $\displaystyle (\mu=m/2,\ \nu=n/2)$  

となる。

竹野茂治@新潟工科大学
2020-12-17