5 三角関数の巾乗と微分に関する補題

本節では、$\sin^n x$ を $\sin jx$, $\cos jx$ で表す公式、 およびその微分に関する公式を紹介する。

補題 2

$n\geq 1$ に対し、

$$\sin^{2n} x = \frac{1}{2^{2n}}\left(\begin{array}{c} \!\!2n\!\! \\ \!\!n\!\! \... ...^j\left(\begin{array}{c} \!\!2n\!\! \\ \!\!n-j\!\! \end{array}\right)\cos 2j x$$ (12)

$$\sin^{2n-1} x = \frac{1}{2^{2n-2}}\sum_{j=1}^n(-1)^{j-1}\left(\begin{array}{c} \!\!2n-1\!\! \\ \!\!n-j\!\! \end{array}\right)\sin(2j-1)x$$ (13)

証明

いずれも複素数と二項定理から得られる。

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\sin^{2n}x \ =\ \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\rig... ...array}{c} \!\!2n\!\! \\ \!\!n-j\!\! \end{array}\right)\cos 2jx \end{eqnarray*}$$

により (12) が得られる。

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\sin^{2n-1}x \ =\ \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\r... ...}{c} \!\!2n-1\!\! \\ \!\!n-j\!\! \end{array}\right)\sin(2j-1)x \end{eqnarray*}$$

により (13) が得られる。

次の補題は明らか。

補題 3

$n\geq 1$ に対し、

$$(\sin ax)^{(2n)} = (-1)^na^{2n}\sin ax, \hspace{1zw}(\sin ax)^{(2n-1)} = (-1)^{n-1}a^{2n-1}\cos ax$$ (14)

$$(\cos ax)^{(2n)} = (-1)^na^{2n}\cos ax, \hspace{1zw}(\cos ax)^{(2n-1)} = (-1)^{n}a^{2n-1}\sin ax$$ (15)