2 問題の定式化

[1] に書いたように、懸垂線の方程式は、 一般に以下のようになる。

$$y = \frac{1}{k}\cosh(kx+a)+b \hspace{1zw}\left(k=\frac{\rho g}{\alpha}\right)$$ (1)

ここで、 $\cosh x = (e^x+e^{-x})/2$ であり、 $a,b$ は位置などによって決まる定数、 $\rho\, (>0)$ はひもの線密度、$g\, (>0)$ は重力加速度、 $\alpha\, (>0)$ はひもにかかる張力の $x$ 成分で、 これも場所によらず定数となる (この式の導出については [1] を参照のこと)。

この $\alpha$ は定数であるが、 実際にはひもを張った張り具合によって変わるので、 事前に知ることは無理で、これも位置とひもの長さ、 および $\rho$ によって決まる値となる。

さて、この (1) のパラメータ $a$, $b$, $k$ を 以下の条件の下で決めるのが今回の話である。

• [ア] (1) は 2 点 $(x,\,y)=(0,\,0)$ と ($A$, $H$) を通る ($A>0$, $H\geq 0$)
• [イ] その 2 点間のひもの曲線長は $L$ ( $L>\sqrt{A^2+H^2}$)

例えば、山中の送電線などを考えれば、 支える 2 点は必ずしも水平位置にあるとは限らないので、 今回は $H=0$ とは仮定せずに計算する。 また、実際の電線では、電線の「のび」も考慮する必要があるだろうが、 今回は「のび」は無視して考える。