7 対称性
は、A, B のどちらが上であるかを考えないゲーム差の平均値であるから、
互角のところ (
) で対称になっていて、
またその互角のところではゲーム差が 0 に近いことが期待されるので、
で最小値を取ることが予想される。
この節ではそれを考えてみる。
すなわち、以下の 2 つを示す。
-
は
に関して対称、すなわち
は
に関して偶関数となる
-
は
では減少、
では増加する。
よって
で最小値を取り、
で最大値
を取る
最後の最大値
は、
が必ず勝つのであれば当然ゲーム差は
となるだろう。
5 節の (14) より、
これはいずれも
について考えればよいことがわかる。
ここでは (15) を用いて考えることにする。
とすると
であるから、
![\begin{eqnarray*}\lefteqn{p^kq^{2m-k}+p^{2m-k}q^k}
\\ &=&
p^kq^k(q^{2m-2k}+p^{...
...{2}-r\right)^{2m-2k}
+\left(\frac{1}{2}+r\right)^{2m-2k}\right\}\end{eqnarray*}](img171.gif)
となるので、これは明らかに
の偶関数となる (
の代わりに
を代入しても不変)。
よって (15) より
は確かに
の偶関数となる。
次に (15) を
の式とみて
で微分する。
より
![\begin{eqnarray*}\lefteqn{(p^kq^{2m-k}+p^{2m-k}q^k)'}
\\ &=&
k(p^{k-1}q^{2m-k}-q^{k-1}p^{2m-k})
+(2m-k)(p^{2m-k-1}q^k-p^kq^{2m-k-1})\end{eqnarray*}](img174.gif)
となるが、今
と書くことにすると、これは
と書ける。
よって、(15) より、
![\begin{eqnarray*}\lefteqn{\left(\frac{F_{2m}}{2m}\right)'}
\\ &=&
\sum_{k=1}^{...
...begin{array}{c} 2m-1 \\ m-2 \end{array}\right)\right\}g(2m-1,m-1)\end{eqnarray*}](img177.gif)
と変形すると、
の係数
は 5 節と同様の変形により、
![\begin{eqnarray*}\lefteqn{c_{m,k}}
\\ &=&
-\left\{\left(\begin{array}{c} 2m-1 ...
...ht)
\\ &=&
2\left(\begin{array}{c} 2m-1 \\ k \end{array}\right)\end{eqnarray*}](img180.gif)
と書き直せる。同様に、
![\begin{eqnarray*}\lefteqn{(m+1)\left\{\left(\begin{array}{c} 2m-1 \\ m-1 \end{ar...
...right)
=
2\left(\begin{array}{c} 2m-1 \\ m-1 \end{array}\right)\end{eqnarray*}](img181.gif)
となるので、結局
となる。ここで、
は
に対し、
![\begin{eqnarray*}g(2m-1,k)
&=&
p^{2m-k-1}q^k-p^kq^{2m-k-1}
=
p^kq^k(p^{2m-2k...
...m-2k-1})
\\ &=&
(p-q)p^kq^k\sum_{j=0}^{2m-2k-2}p^{2m-2k-2-j}q^j\end{eqnarray*}](img184.gif)
と因数分解され、
以外の部分は
では正であり、
は
で正、
で負なので、
この節最初の主張の 2. の増減の部分が言えたことになる。
の値は、例えば (6) に
,
を代入すれば
となる。
竹野茂治@新潟工科大学
2009年7月27日