4 互角の場合の符号無しゲーム差の平均

次に $F_n$ の方を考える。こちらは $E_n$ に比べてかなり厄介である。 (4) と同様に、

$$F_n=F_n(p)=\sum_{k=0}^n\vert 2k-n\vert\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)p^kq^{n-k}$$ (6)

であるが、絶対値を外すために、 $n$ が偶数の場合と奇数の場合に分けて考えることにする。 まず、$n=2m$ の場合は、

$$\begin{eqnarray*}F_{2m} &=& \sum_{k=0}^{2m}\vert 2k-2m\vert\left(\begin{array}... ...k-2m)\left(\begin{array}{c} 2m \\ k \end{array}\right)p^kq^{2m-k}\end{eqnarray*}$$

となるが、この後ろの和で $2m-k=j$ とすると

$$2k-2m=2(2m-j)-2m=2m-2j,\hspace{1zw} \left(\begin{array}{c} 2... ...rray}\right)=\left(\begin{array}{c} 2m \\ j \end{array}\right)$$

なので、

$$F_{2m} = \sum_{k=0}^{m-1}(2m-2k)\left(\begin{array}{c} 2m \\ k \end{array... ...{j=0}^{m-1}(2m-2j)\left(\begin{array}{c} 2m \\ j \end{array}\right)p^{2m-j}q^j$$

$$= \sum_{k=0}^{m-1}(2m-2k)\left(\begin{array}{c} 2m \\ k \end{array}\right)(p^kq^{2m-k}+p^{2m-k}q^k)$$ (7)

同様に、$n=2m+1$ の場合は、

$$F_{2m+1} = \sum_{k=0}^{2m+1}\vert 2k-2m-1\vert\left(\begin{array}{c} 2m+1 \\ k \end{array}\right)p^kq^{2m+1-k}$$

$$= \sum_{k=0}^{m}+\sum_{k=m+1}^{2m+1} = \sum_{k=0}^{m}+\sum_{j=0}^{m}\hspace{1zw}(2m+1-k=j)$$

$$= \sum_{k=0}^{m}(2m+1-2k)\left(\begin{array}{c} 2m+1 \\ k \end{array}\right)(p^kq^{2m+1-k}+p^{2m+1-k}q^k)$$ (8)

となる。例えば、$p=1/2$ のときは、

$$F_{2m}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2^{2m-1}}\sum_{k=0}^{m-1}(2m-2k)\left(\begin{array}{c} 2m \\ k \end{array}\right),$$ (9)

$$F_{2m+1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2^{2m}}\sum_{k=0}^{m}(2m+1-2k)\left(\begin{array}{c} 2m+1 \\ k \end{array}\right)$$ (10)

となるが、いくつか計算してみると、

$$\begin{eqnarray*}F_1\left(\frac{1}{2}\right) &=& 1,\\ F_2\left(\frac{1}{2}\rig... ...egin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array}\right)\right\} = \frac{15}{8}\end{eqnarray*}$$

のようになることがわかる。実は一般に次が言える。

$$F_{2m}\left(\frac{1}{2}\right) = F_{2m-1}\left(\frac{1}{2}\right),$$ (11)

$$F_{2m+1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2m+1}{2m}F_{2m}\left(\frac{1}{2}\right)$$ (12)

(12) は、5 節で より一般のものを示すから、ここでは (11) を示そう。 そのために、二項係数に成り立つ次の関係式を用いる。

$$\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)=\left(\beg... ...rray}{c} n-1 \\ k \end{array}\right)\hspace{1zw}(0\leq k\leq n)$$ (13)

ただし、$k<0$ および $k>n$ のときは $$\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)=0$$ とする。 これは、二項係数に関するパスカルの三角形の元となる関係式である。

(9) にこの (13) を用いると、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{F_{2m}\left(\frac{1}{2}\right)} \\ &=& \frac{1}{2^{2... ...{m-1}(2m-1-2k)\left(\begin{array}{c} 2m-1 \\ k \end{array}\right)\end{eqnarray*}$$

となり、これは (10) により $F_{2m-1}(1/2)$ に等しいから (11) が言えたことになる。