2 フィボナッチ数列
まず、フィボナッチ数列とうさぎの話を紹介する。
元々の問題は以下のようである。
うさぎのつがいが 1 組あると、それが毎月 2 匹のうさぎを産み、
その子がまたつがいとなり、
2 ヶ月後からは親と同じように毎月 1 つがいのうさぎを産むようになる。
ヶ月後には何つがいのうさぎがいることになるか。
この問題の設定は、
生物学的には不自然なところもかなりあるのであろうが、
繁殖力の強い動物の増え方の近似的な様子を見るには、
それなりに役に立つのだろう。
この問題を、産まれたばかりの 1 つがいのうさぎから考えることとし、
ヶ月後に産まれたばかりのつがいの数を 、
生後 1 ヶ月経ったつがいの数を 、
生後 2 ヶ月以降の親つがいの数を とすると、
開始時は
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(2) |
であり、1 ヶ月後には
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(3) |
となり、2 ヶ月後にはその最初のつがいは親つがいとなり、子を産むので、
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(4) |
となる。以下、親つがいは毎月子を産むので、
のように推移していく。
つがいの総数を
とすると、
のように確かにフィボナッチ数列となりそうだが ()、
実際に に (1) のような漸化式が成り立つことを確認する。
上の定義と考察により、
, , には次の関係が成り立つことがわかる。
(5) は親つがいの数 で、
それは 1 ヶ月前に既に親だったつがいの数 と、
1 ヶ月前に生後 1 ヶ月だったつがいの数 の和に等しい。
(6) は生後 1 ヶ月のつがいの数 で、
それは 1 ヶ月前には産まれたばかりのつがいの数 に等しい。
(7) は産まれたばかりのつがいの数 で、
それは現在の親つがいの数 に等しい。
ここから、 の漸化式を作ってみる。
どの に対して成り立つかも注意しながら見てみると、
(5), (6), (7) より、
となるので、 は ではフィボナッチ数列 (1) の漸化式を満たすことがわかるが、
なので、 では
その漸化式は満たさず、
となっている。
同様に、 は、
より、 も で同じ漸化式を満たすが、
なので、
この漸化式は でも成り立つ。
は、
となり、やはり で (1) の漸化式を満たし、
より、 では
となっている。
結局、 で以下が成り立つ。
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(8) |
ここで
(),
とする。
よって、これらの和により
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(9) |
となることがわかる。
さらに なので、よって () となる。
なお、同様に、
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(10) |
もいえる。
すなわち、, , , は
いずれもフィボナッチ数列の漸化式を満たし、
実際に部分的にはフィボナッチ数列に一致する。
さて、本節の最後にフィボナッチ数列の一般項を求めておく。
[1] で示したように、
定数係数線形の漸化式は、特性方程式を解けばその一般項が求まる。
フィボナッチ数列 の特性方程式は、
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(11) |
であり、この 2 次方程式の解は
であるから、
となるが、
ここに , を代入して (1) を用いると、
となるから、
となるので、よって、
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(12) |
が得られる。
なお、高校では [1] に書いたような理論を
教えるわけではないので、
3 項漸化式などをこのようには解かない。
竹野茂治@新潟工科大学
2017年3月22日