8 漸化式の解

本節で、漸化式 (35) の解、 すなわち $p^{(k-1)}_{i,j}$ $(m+1\leq k\leq n$) を 具体的な式で書き表す。 なお、分母の $p^{(k)}_{k,k} (=d^{(k)}_k)$ が 0 ではないという 保証もないので、それも同時に考える。

まずは $k=n-1,n-2$ の場合を考える。 (35) で $k=n$ とすると、 (32) より $p_{n,n}>0$ で、

  $$p^{(n-1)}_{i,j} = \frac{1}{p_{n,n}} \left\vert\begin{array}{c... ...\\ p_{n,j}&p_{n,n}\end{array}\right\vert \hspace{0.5zw}(1\leq i\leq j\leq n)$$ (46)

となる。よって特に

  $$p^{(n-1)}_{n-1,n-1} = \frac{1}{p_{n,n}}\left\vert\begin{array}{... ...ightarrow{\beta}_{n}\mathrel{・}\overrightarrow{\beta}_{n}\end{array}\right\vert$$ (47)

であるが、 $\overrightarrow{\beta}_{n-1}$ と $\overrightarrow{\beta}_n$ は $B=(A')^{-1}$ の 列ベクトルだから線形独立で、よって補題 6 より $p^{(n-1)}_{n-1,n-1}>0$ であることが保証される。

そして、これに対し (35) で $k=n-1$ とすると、

  $$p^{(n-2)}_{i,j} = \frac{1}{p^{(n-1)}_{n-1,n-1}} \left\vert\be... ...&p^{(n-1)}_{n-1,n-1}\end{array}\right\vert \hspace{1zw}(1\leq i\leq j\leq n-1)$$ (48)

となる。これを、(46) を用いて $p_{i,j}$ で表す。 (48) の行列式の 4 つの成分は、 (46) より、

$$\begin{eqnarray*}p^{(n-1)}_{i,j} &=& \frac{1}{p_{n,n}} \left\vert\begin{array}{... ...}p_{n-1,n-1}&p_{n-1,n}\\ p_{n,n-1}&p_{n,n}\end{array}\right\vert,\end{eqnarray*}$$

なので、その行列式部分は、いずれも

  $$X=\left[\begin{array}{ccc}p_{i,j} & p_{i,n-1} & p_{i,n}\\ p_{n... ...} & p_{n-1,n-1} & p_{n-1,n}\\ p_{n,j} & p_{n,n-1} & p_{n,n}\end{array}\right]$$ (49)

の小行列式となっていて、具体的には、

$$\begin{eqnarray*}p^{(n-1)}_{i,j} &=& \frac{1}{p_{n,n}}\left\vert X^{[2]}_{[2]}\r... ...-1,n-1} \ =\ \frac{1}{p_{n,n}}\left\vert X^{[1]}_{[1]}\right\vert\end{eqnarray*}$$

なので、これらを (48) に代入すると、

$$p^{(n-2)}_{i,j} = \frac{p_{n,n}}{\left\vert X^{[1]}_{[1]}\right\vert}\,\frac{1}{p_{... ...1]}_{[2]}\right\vert &\left\vert X^{[2]}_{[2]}\right\vert\end{array}\right\vert$$

$$= \frac{1}{p_{n,n}\left\vert X^{[1]}_{[1]}\right\vert} \left\vert\tilde{X}^{(1,2)}_{(1,2)}\right\vert$$ (50)

となる。ここで、命題 2 (正確には系 5) より、

$$\left\vert\tilde{X}^{(1,2)}_{(1,2)}\right\vert = (-1)^{3+3}\vert ... ...t\vert = \vert X\vert\left\vert X^{(3)}_{(3)}\right\vert = p_{n,n}\vert X\vert$$

となるので、よって、(50) は

  $$p^{(n-2)}_{i,j} = \frac{\vert X\vert}{\left\vert X^{[1]}_{[1]}... ...p_{n-1,n-1} & p_{n-1,n}\\ p_{n,j} & p_{n,n-1} & p_{n,n}\end{array}\right\vert$$ (51)

となる。

次は、 $p^{(k-1)}_{i,j}$ の一般項を求める。 まず、

  $$P = [p_{i,j}]_{n,n} = \left[\begin{array}{ccc}p_{1,1} &\cdots&... ...eta}_i\mathrel{・}\overrightarrow{\beta}_j\right]_{n,n} \hspace{1zw}(={}^t{B}B)$$ (52)

とし、

$$Y_k = P^{(k,k+1,\ldots,n)}_{(k,k+1,\ldots,n)} = \left[\begin{array}{ccc... ...dots\\ p_{n,k} &\cdots& p_{n,n}\end{array}\right] \hspace{1zw}(m\leq k\leq n),$$ (53)

$$X_k(i,j) = P^{(i,k,k+1,\ldots,n)}_{(j,k,k+1,\ldots,n)} = \left[\begin{array}... ...j} & p_{n,k} &\cdots& p_{n,n}\end{array}\right] \hspace{1zw}(1\leq i,j\leq k-1)$$ (54)

とすると、 $p^{(n-1)}_{n-1,n-1}$ は (47) より

$$p^{(n-1)}_{n-1,n-1} = \frac{\vert Y_{n-1}\vert}{p_{n,n}} = \frac{\vert Y_{n-1}\vert}{\vert Y_n\vert}$$

で、 $p^{(n-2)}_{i,j}$ は (51) より

$$p^{(n-2)}_{i,j} = \frac{\vert X_{n-1}(i,j)\vert}{\vert Y_{n-1}\vert}$$

となることがわかる。これらより、 $p^{(k)}_{k,k}$ ( $m+1\leq k\leq n-1$)、 および $p^{(k-1)}_{i,j}$ ( $1\leq i,j\leq k-1$) を

  $$p^{(k)}_{k,k}=\frac{\vert Y_k\vert}{\vert Y_{k+1}\vert}, \hspace{1zw} p^{(k-1)}_{i,j}=\frac{\vert X_{k}(i,j)\vert}{\vert Y_k\vert}$$ (55)

と予想し、これを帰納法で証明する。 なお、すべての $k$ に対し $\vert Y_k\vert>0$ であることは、 補題 6 により保証されるので、 (55) が成り立てば、 $p^{(k)}_{k,k}>0$ も言えることになる。

$k=n-1$ に対しては上で示した通り成立する。 なお、$\vert Y_{n+1}\vert=1$ と考えれば、$k=n$ に対しても (46) より

$$p^{(n)}_{n,n}=p_{n,n}=\vert Y_n\vert=\frac{\vert Y_n\vert}{\vert ... ...\frac{\vert X_n(i,j)\vert}{p_{n,n}}=\frac{\vert X_n(i,j)\vert}{\vert Y_n\vert}$$

なので (55) は $k=n$ でも成立することになる。

以下、 $k=n,n-1,\ldots,\ell+1$ までは成立したとして、$k=\ell$ の場合に 成立することを示す ( $m+1\leq \ell<n-1$)。

(55) の後者の $k=\ell+1$ の式より、

$$p^{(\ell)}_{\ell,\ell} = \frac{\vert X_{\ell+1}(\ell,\ell)\vert}{\vert Y_{\ell+1}\vert} = \frac{\vert Y_{\ell}\vert}{\vert Y_{\ell+1}\vert}$$

は成立するので、これで (55) の $k=\ell$ の最初の式が得られる。 後は (55) の後者の $k=\ell$ の式を示せばよい。 漸化式 (35) より、

$$p^{(\ell-1)}_{i,j} = \frac{1}{p^{(\ell)}_{\ell,\ell}} \left\vert... ...ll}\\ [.5zh] p^{(\ell)}_{\ell,j}&p^{(\ell)}_{\ell,\ell}\end{array}\right\vert$$

となるが、帰納法の仮定、すなわち (55) の 後者の $k=\ell+1$ の式より、

$$p^{(\ell)}_{i,j} = \frac{\vert X_{\ell+1}(i,j)\vert}{\vert Y_{\el... ...}_{\ell,\ell} = \frac{\vert X_{\ell+1}(\ell,\ell)\vert}{\vert Y_{\ell+1}\vert}$$

であり、これらの分子は、いずれも

$$Z = P^{(i,\ell,\ell+1,\ldots,n)}_{(j,\ell,\ell+1,\ldots,n)} = X_{\ell}(i,j)$$

の余因子と書ける。すなわち、

$$p^{(\ell)}_{i,j}=\frac{\left\vert Z^{[2]}_{[2]}\right\vert}{\vert... ..._{\ell,\ell}=\frac{\left\vert Z^{[1]}_{[1]}\right\vert}{\vert Y_{\ell+1}\vert}$$

なので、命題 2 (正確には系 5)、 および $X_{\ell+1}(\ell,\ell)=Y_\ell$ より、

$$\begin{eqnarray*}p^{(\ell-1)}_{i,j} &=& \frac{\vert Y_{\ell+1}\vert}{\vert Y_... ...ert} \ =\ \frac{\vert X_{\ell}(i,j)\vert}{\vert Y_{\ell}\vert}\end{eqnarray*}$$

となり、これで (55) 後者の $k=\ell$ の 式も得られた。 これで、帰納法により確かに (55) が 成立することが証明された。

よって、(55) で $k=m+1$ とすれば、 最終的な係数

  $$p^{(m)}_{i,j} = \frac{\vert X_{m+1}(i,j)\vert}{\vert Y_{m+1}\v... ... P^{(m+1,\ldots,n)}_{(m+1,\ldots,n)}\right\vert} \hspace{1zw}(1\leq i,j\leq m)$$ (56)

が得られる。