4 最初の命題の証明

ここまでの準備の元、命題 を証明する。 なお、 節最後に述べたように、 $\mu_j=0$, $\sigma_j=1$, $a_j>0$ として考える。

$x_1,\ldots,x_n$ は独立なので、$n$ 次元確率変数 $(x_1,\ldots,x_n)$ の 密度関数 $f(x_1,\ldots,x_n)$ は

$$f(x_1,\ldots,x_n) = f_0(x_1)\cdots f_0(x_n) = \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^ne^{-(x_1^2+\cdots+x_2^2)/2}$$

となる。よって、 $y=a_1x_1+\cdots+a_nx_n+b=S_n$ の分布関数 $G(y)$ は、 $y=S_n\leq t$ を $x_n$ について書けば $x_n\leq (t-S_{n-1})/a_n$ と なるので、

$$\begin{eqnarray*}G(t) &=& \mathrm{Prob}\{y\leq t\} \ =\ \mathrm{Prob}\{x_n... ...0(x_{n-1})dx_{n-1} \int_{-\infty}^{(t-S_{n-1})/a_n} f_0(x_n)dx_n\end{eqnarray*}$$

となり、$y$ の密度関数 $g(y)=G'(y)$ は、

$$g(t) = G'(t) \ =\ \int_{\mbox{\boldmath\scriptsize R}}f_0(x_1)dx_1\cdot... ...ze R}}f_0(x_{n-1}) f_0\left(\frac{t-S_{n-1}}{a_n}\right)\frac{1}{a_n}\,dx_{n-1}$$

$$= \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^n\frac{1}{a_n} \int_{\mbox{\bo... ...{\mbox{\boldmath\scriptsize R}} e^{-T_{n-1}/2-(t-S_{n-1})^2/(2a_n^2)}\,dx_{n-1}$$ (13)

となる。ここで $T_n=x_1^2+\cdots x_n^2$ とする。

この指数の部分は、$x_j$ にする 2 次式で、 $a_n^2=p^2$ と書くことにすれば、それを $x_{n-1}$ について整理すると、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{-\,\frac{T_{n-1}}{2}\,-\,\frac{(t-S_{n-1})^2}{2p^2} \... ...^2}(t-S_{n-2})x_{n-1}+\frac{(t-S_{n-2})^2}{p^2} +T_{n-2}\right\}\end{eqnarray*}$$

これに、補題 を用いれば、

$$\begin{eqnarray*}a &=& \frac{p^2+a_{n-1}^2}{p^2}, \\ \frac{D}{4} &=& \frac{... ...=& -\,\frac{1}{2}\,T_{n-2}-\,\frac{(t-S_{n-2})^2}{p^2+a_{n-1}^2}\end{eqnarray*}$$

より、$x_{n-1}$ での積分の結果は、

  $$\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\,e^{D/(8a)} =\sqrt{\frac{2\pi p^2}{p^2+a_{n-1}^2}} \,e^{-\{T_{n-2}+(t-S_{n-2})^2/(p^2+a_{n-1}^2)\}/2}$$ (14)

となる。これと、積分前の

$$e^{-\{T_{n-1}+(t-S_{n-1})^2/p^2\}/2}$$

を比較すると、全体が $\sqrt{2\pi p^2/(p^2+a_{n-1}^2)}$ 倍され、 指数部分は $x_{n-1}$ の項が消え、代わりに $p^2$ に $a_{n-1}^2$ が 追加されることがわかる。

よって、() を $x_{n-2}$ で積分すると、 その結果は

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\sqrt{\frac{2\pi p^2}{p^2+a_{n-1}^2}} \sqrt{\frac{2\p... ...2}} \,e^{-\{T_{n-3}+(t-S_{n-3})^2/(p^2+a_{n-1}^2+a_{n-2}^2)\}/2}\end{eqnarray*}$$

となる。

これを続けていけば、最後の $x_1$ での積分の結果 $g(t)$ は、 $\vec{a}=(a_1,\ldots,a_n)$ とすれば、$p^2=a_n^2$ より以下のようになる。

$$\begin{eqnarray*}g(t) &=& \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^n\frac{1}{a_n} \... ...{\sqrt{2\pi}\vert\vec{a}\vert}\,e^{-(t-b)^2/(2\vert\vec{a}\vert)}\end{eqnarray*}$$

これは、$y$ の密度関数 $g(y)$ が 正規分布 $N(b,\vert\vec{a}\vert^2)=N(b,\sum a_j^2)$ の密度関数に等しいことを 意味し、 これで $\mu_j=0$, $\sigma_j=1$ の場合の命題 が 示されたことになる。