4 ポアソン分布の裏が指数分布となること

次は、講義でも紹介した、ポアソン分布 $P(\lambda)$ の「裏」が 指数分布 $e(1/\lambda)$ となることを考える。 指数分布 $e(1/\lambda)$ とは、

  $$F_{\lambda}(d) = \left\{\begin{array}{ll} 1-e^{-\lambda d} & (d>0)\\ 0 & (d<0) \end{array}\right.$$ (2)

を分布関数とするような連続確率分布である。密度関数 $f_\lambda(d)$ は、

  $$f_{\lambda}(d) = \left\{\begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda d} & (d>0)\\ 0 & (d<0) \end{array}\right.$$ (3)

となる。 これが、ポアソン分布の「裏」とはどういうことかを説明するが、 この表現は講義の教科書 [3] によるもので、 一般的な表現かどうかは知らない。

3 節で述べたように、ポアソン分布 $P(\lambda)$ が、 1 時間の間にある事象が起きる回数の分布になっているとき、 その事象と次に起きた事象の間の時間 $d$ は、指数分布 $e(1/\lambda)$ に 従う。

実は教科書はこの逆の形で書いてあるのであるが、 この形のものもどこかの本に書いてあった (図書館にあった本だと思うが、 どの本かは忘れてしまった)。

これについて講義では、その本に書いてあった、以下のような説明を行った。

$T>0$ に対して、時間間隔 $d$ が $T$ よりも大きい確率 $\mathrm{Prob}\{d>T\}=1-F_\lambda(T)$ は、 $T$ 時間の間に 1 回も起こらない確率に等しい。 $T$ 時間の間に起きる回数 $x_T$ は $P(\lambda T)$ に従う (前節の結果) ので、

$$\mathrm{Prob}\{d>T\}=1-F_\lambda(T) = \mathrm{Prob}\{x_T=0\} = p_{\lambda T}(0)$$

となり、よって

$$F_\lambda(T) = 1-p_{\lambda T}(0) = 1-\,\frac{(\lambda T)^0}{0!}e^{-\lambda T} = 1 - e^{-\lambda T}$$

となる。

ただ、この説明では若干 $\mathrm{Prob}\{d>T\}=\mathrm{Prob}\{x_T=0\}$ のところが 気になる。 むしろ、これは、次のように考えた方がわかりやすいような気がする。

最後にその事象が起きた時刻を 0 として、そこから $T$ 時間までの間 に 1 回でも起きれば、この $T$ 時間の間には少なくとも 1 回以上 起きることになるが、これは、最初の事象までの時間間隔で考えれば、 $d\leq T$ を意味し、一方起きる回数 $x_T$ で言えば $x_T\geq 1$ を意味する。 よって、 $\mathrm{Prob}\{d\leq T\}=\mathrm{Prob}\{x_T\geq 1\}$ となり、 これを 1 から引けば、 $\mathrm{Prob}\{d>T\}=\mathrm{Prob}\{x_T=0\}$ となる。

あとは上の計算と同じである。 「最後にその事象が起きた時刻を 0」とすることで、 どこに起点を置いて考えるか、どの時間間隔を見るかが明確になって、 わかりやすくなるように思う。 そしてこれなら $\mathrm{Prob}\{d>T\}=\mathrm{Prob}\{x_T=0\}$ もある程度納得できると 思う。