5 連続分布のたたみこみ

前節で、ポアソン分布の裏が指数分布であることを示したが、 そこにも述べたように教科書 [3] には、 実は「指数分布の裏がポアソン分布」と書いてある。 次はそれを考えるために、まずは連続分布のたたみこみについて説明する。

本稿では、連続確率分布 $P$ を、標本空間 $\mbox{\boldmath R}$ と、 分布関数 $F(x)$ をセットにして、 $P=(\mbox{\boldmath R},F)$ のように表す。 密度関数 $f(x)$ は $f(x)=F'(x)$ である。

この場合も、独立な確率変数の和の分布で考える。 $x\sim P=(\mbox{\boldmath R},F)$, $y\sim Q=(\mbox{\boldmath R},G)$ のとき、$x,y$ を独立として 考えた 2 次元確率変数 $(x,y)$ の分布関数は $H(x,y)=F(x)G(y)$ で、 密度関数は $h(x,y)=f(x)g(y)$ となる ($f=F'$, $g=G'$)。 よって、$z=x+y$ は、以下の $K(z)$ を分布関数とする確率変数となる。

$$K(t) = \mathrm{Prob}\{x+y\leq t\} \ =\ \int\!\!\int _{\{x+y\leq t\}}h(x,y)dxdy$$

$$= \int_{\mbox{\boldmath\scriptsize R}}dx\int_{-\infty}^{t-x}f(x)g(y)dy \ =\ \int_{\mbox{\boldmath\scriptsize R}}f(x)G(t-x)dx$$ (4)

よって、$z$ の密度関数は、これを $t$ で微分した

  $$k(t)=K'(t) = \int_{\mbox{\boldmath\scriptsize R}}f(x)g(t-x)dx$$ (5)

となる。 逆に、 $P=(\mbox{\boldmath R},F)$, $Q=(\mbox{\boldmath R},G)$ から (5) によって 作った $k(t)$ ($=(f\ast g)(t)$ と書く) を密度関数とするような 連続確率分布を、$P$ と $Q$ の「たたみこみ」と呼び、$P\ast Q$ と書く。

なお、$f\geq 0$, $g \geq 0$ で $f,g\in L^1(\mbox{\boldmath R})$ なので $f\ast g\geq 0$ で、

$$\begin{eqnarray*}\int_{\mbox{\boldmath\scriptsize R}}(f\ast g)(t)dt &=& \int_... ...ize R}}f(x)dx\int_{\mbox{\boldmath\scriptsize R}}g(y)dy \ =\ 1\end{eqnarray*}$$

となるので、確かに $f\ast g$ はある連続分布の密度関数となる。

また、(4) より、 $P\ast Q = (\mbox{\boldmath R},f\ast G)$ となるが、 これは次の命題 5 により $P\ast Q = (\mbox{\boldmath R},F\ast g)$ とも書ける。

命題 5

1. $f\ast g = g\ast f$
2. $(f\ast g)\ast h = f\ast(g\ast h)$

証明

1.

$$(f\ast g)(t) = \int_{\mbox{\boldmath\scriptsize R}}f(x)g(t-x)dx = \int_{\mbox{\boldmath\scriptsize R}}f(t-y)g(y)dx = (g\ast f)(t)$$

より O.K.

2.

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{((f\ast g)\ast h)(t) \ =\ \int_{\mbox{\boldmath\sc... ...\scriptsize R}}f(y)(g\ast h)(t-y)dy \ =\ (f\ast(g\ast h))(t) \end{eqnarray*}$$

より O.K.

この命題 5 より、離散の場合同様、 $x_i\sim P_i=(\mbox{\boldmath R},F_i)$ ($1\leq i\leq n$) に対するたたみこみ $P_1\ast\cdots\ast P_n$ を考えることもできる。

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ (f_1\ast\cdots\ast f_n)(t) \ =\ \int_{\mbox{\bold... ...criptsize R}}f_{n-1}(x_{n-1}) f_n(t-x_1-\cdots-x_{n-1})d x_{n-1}\end{eqnarray*}$$

なので、$t$ に関して $-\infty$ から $y$ まで積分すると、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ \int_{-\infty}^y(f_1\ast\cdots\ast f_n)(t)dt } \\ ... ...x_1+\cdots+x_n\leq y\}}f_1(x_1)\cdots f_n(x_n)d\overrightarrow{x}\end{eqnarray*}$$

となり、これは、 $x_1,\ldots,x_n$ を独立と見た場合の $z=x_1+\ldots+x_n$ の分布関数にほかならない。よって、 $f_1\ast\cdots\ast f_n$ はその $z$ の密度関数となる。

離散の場合と同様に、$P_j$ がすべて $P=(\mbox{\boldmath Z${}_{+}$},F)$ に等しい場合、 本稿では $P$ の $n$ 重のたたみこみを $P^{(n)}=(\mbox{\boldmath Z${}_{+}$},F^{(n)})$ と書く。 $n$ 階導関数ではないので注意すること。

例 6

正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ のたたみこみを計算する。 正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ の密度関数を、

$$f_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$$

とする。このとき、

$$(f_{\mu_1,\sigma_1}\ast f_{\mu_2,\sigma_2})(t) =\frac{1}{2\pi\si... ...\scriptsize R}}e^{-(x-\mu_1)^2/(2\sigma_1^2) -(t-x-\mu_2)^2/(2\sigma_2^2)}dx$$

となるが、$x-\mu_1=y$, $t-x-\mu_2=t-\mu_1-\mu_2-y=a-y$ とすると、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ \frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}+\frac{(t-x-\mu_2)^2}{... ...ma_1^2+\sigma_2^2}\right)^2 +\frac{a^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2} \end{eqnarray*}$$

となるので、$b>0$ に対し、

$$\int_{\mbox{\boldmath\scriptsize R}}e^{-bx^2/2}dx = \int_{\mbox{\boldmath\scriptsize R}}e^{-t^2}dt\sqrt{\frac{2}{b}} = \sqrt{\frac{2\pi}{b}}$$

より、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{(f_{\mu_1,\sigma_1}\ast f_{\mu_2,\sigma_2})(t) \ =\ ... ..._2^2))} \ =\ f_{\mu_1+\mu_2,\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}(t) \end{eqnarray*}$$

となる。よって、

$$N(\mu_1,\sigma_1^2)\ast N(\mu_2,\sigma_2^2) =N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$$

がわかる。左辺は、$x_1+x_2$ の分布であるから、 これは丁度 [2] の考察に対応する。

例 7

指数分布 $e(1/\lambda)$ のたたみこみを計算する。 $e(1/\lambda)$ の密度関数 $f_{\lambda}$ は (3) の 形なので、$z<0$ なら $(f_\lambda\ast f_\mu)(z) = 0$ であり、 $z>0$ なら

$$\begin{eqnarray*}(f_\lambda\ast f_\mu)(z) &=& \int_0^zf_\lambda(t)f_\mu(z-t)dt... ...dt \\ &=& \lambda\mu e^{-\mu z}\int_0^z e^{(\mu-\lambda) t}dt \end{eqnarray*}$$

より、$\lambda = \mu$ なら

$$(f_\lambda\ast f_\lambda)(z) = f_\lambda^{(2)}(z) = \lambda^2 z e^{-\lambda z}\hspace{1zw}(z>0)$$

となり、 $\lambda\neq\mu$ なら

$$(f_\lambda\ast f_\mu)(z) = \lambda\mu e^{-\mu z} \left[\frac{e... ...\frac{\lambda\mu}{\mu-\lambda} (e^{-\lambda z}-e^{-\mu z}) \hspace{1zw}(z>0)$$

となる。よって、

$$(f_\lambda\ast f_\mu)(z) = \left\{\begin{array}{ll} \displaysty... ...}-e^{-\mu z}}{\mu-\lambda}\chi_{+}(z) & (\lambda\neq \mu) \end{array}\right.$$

となる。ここで、$\chi_{+}(z)$ は、$z>0$ では 1、$z<0$ では 0 となる 関数とする。 これらはいずれも指数分布とは別の分布となる。

$f_\lambda^{(n)}$ については、

  $$f_\lambda^{(n)}(z) = \lambda^n\frac{z^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda z} \chi_{+}(z)$$ (6)

となることを示す。$n=1,2$ については上の結果より成立する。 $n-1$ まで成り立つとすると ($n\geq 2$)、$z>0$ に対し、

$$\begin{eqnarray*}f_\lambda^{(n)}(z) &=& (f_\lambda^{(n-1)}\ast f_\lambda)(z) ... ...-1}}{n-1} \ =\ \lambda^n\frac{z^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda z} \end{eqnarray*}$$

となって $n$ でも成立する。 ちなみに、

$$\begin{eqnarray*}\int_{\mbox{\boldmath\scriptsize R}}f_\lambda^{(n)}(z)dz &=& ... ...hop{\mathit{\Gamma}}(n) \ =\ \frac{(n-1)!}{(n-1)!} \ =\ 1 \end{eqnarray*}$$

となり、 $f_\lambda^{(n)}$ が確かにある分布の密度関数であることがわかるが、 これを密度関数として持つ分布はガンマ分布 $\mathop{\mathit{\Gamma}}(n,1/\lambda)$ と呼ばれる。 よって、 $e(1/\lambda)^{(n)}=\mathop{\mathit{\Gamma}}(n,1/\lambda)$ となる。