3 独立な正規確率変数に関する条件

$n=2,3$ の場合と同様に、$u_i$ を $x_k$ の一次式として、

  $$u_i = \frac{1}{\sigma}\sum_{j=1}^na_{i,j}x_j \hspace{1zw}(1\leq i\leq n-1)$$ (7)

とする。この $u_i$ が $u_i\sim N(0,1)$ となるためには、 [2] より

$$E[u_i] = \frac{1}{\sigma}\sum_{j=1}^n a_{i,j}\,\mu \ =\ \frac{\mu}{\sigma}\sum_{j=1}^n a_{i,j} \ =\ 0,$$ (8)

$$V[u_i] = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{j=1}^n a_{i,j}^2\,\sigma^2 \ =\ \sum_{j=1}^n a_{i,j}^2 \ =\ 1$$ (9)

が条件となる。ここで、行ベクトル $\overrightarrow{\alpha}_i$, $\overrightarrow{\beta}$ を

  $$\overrightarrow{\alpha}_i = (a_{i,1},\ldots,a_{i,n}) \hspace{1z... ...\leq n-1), \hspace{1zw}\overrightarrow{\beta} = \frac{1}{\sqrt{n}}(1,\ldots,1)$$ (10)

とすると、条件 (8), (9) は

  $$\overrightarrow{\alpha}_i\mathrel{・}\overrightarrow{\beta} = 0 \... ...leq i\leq n-1), \hspace{1zw}\left\vert\overrightarrow{\alpha}_i\right\vert = 1$$ (11)

と書け、つまり $\overrightarrow{\alpha}_i$ はすべて $\overrightarrow{\beta}$ と垂直な 単位ベクトルとなる。 なお、 $\overrightarrow{\beta}$ も単位ベクトルである。

また、 $u_1,\ldots,u_{n-1}$ が独立であることは、 [3] により、 $\overrightarrow{\alpha}_i$ ( $1\leq i\leq n-1$) が 互いに垂直であることと同値である。 よって、これらをまとめると、 $u_1,\ldots,u_{n-1}\sim N(0,1)$ で、 かつ独立であることは、

「 $\overrightarrow{\alpha}_1,\ldots,\overrightarrow{\alpha}_{n-1}, \overrightarrow{\beta}$ が 互いに垂直な単位ベクトル」

と同値になる。そしてこれは、行列 $A$ を

  $$A = \left[\begin{array}{c}\overrightarrow{\alpha}_1\\ \vdots\\ \... ...a_{n-1,1}&\cdots&a_{n-1,n}\\ 1/\sqrt{n} &\cdots &1/\sqrt{n}\end{array}\right]$$ (12)

とすれば、$A$ が直交行列、すなわち

  $$A{}^t{A} = {}^t{A}A = E$$ (13)

となることと同値になる ($A{}^t{A}$ は $A$ の行ベクトルの内積を 成分とする行列)。