2 微分可能性の書き換え

1 変数関数 $f(x)$ が $x=a$ で「微分可能である」とは、

  $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$$ (2)

の極限が存在することを指す。

しかし、この形だと例えば合成関数の微分を厳密に証明するのに 都合が悪いといった理由で、理論的な面を重視する本では、 次の形で書かれることもある。

「$x$ が $a$ に十分近いところ、つまりある $\delta>0$ に 対して $\vert x-a\vert<\delta$ の範囲では

  $$f(x) - f(a) = b(x-a) + (x-a)\varepsilon (x-a)$$ (3)

となるような定数 $b$ と、 $h=0$ で連続で $\varepsilon (0)=0$ となる関数 $\varepsilon (h)$ が存在する。」

この (3) は、$x\neq a$ では、

$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = b+\varepsilon (x-a)$$

を意味し、これは (2) の極限が存在し、 その極限値が $b$ であることを意味するから、 (2) と (3) が同等であり、 $b=f'(a)$ となることがわかる。 (3) は、$f$ の微分可能性を $\varepsilon (h)$ の 連続性に置き換えたもの、と見ることもできる。

なお、この書き換えによる、 合成関数の微分の公式の厳密な証明については、 例えば [3] を参照のこと。

例えば $f(x)=x^3$ で $a=2$ のとき、

$$\begin{eqnarray*}f(x) - f(2) &=& x^3 - 2^3 \ =\ (x-2)(x^2+2x+4) \\ &=& (x-2)\{(4+4+4)+(x^2+2x-8)\} \\ &=& 12(x-2) + (x-2)^2(x+4)\end{eqnarray*}$$

となるので、(3) の $b$ は $b=12$ で、 $\varepsilon (x-2)$ は、

$$\varepsilon (x-2) = (x-2)(x+4) = (x-2)^2+6(x-2)$$

すなわち $\varepsilon (h) = h^2+6h$ となる。