Q and A (基礎数理 III)

• 2001 年度まで: 基礎数理 IV (情報電子工学科、建築学科 2 年)
• 2010 年度まで: 基礎数理 IV (情報電子工学科、物質生物システム工学科/環境科学科 2 年)
• 2015 年度まで: 基礎数理 IV (情報電子工学科、建築学科 2 年)
• 2016 年度より: 基礎数理 III (工学科 2 年)

目次

• はじめに (12/14 2005)
• Q and A 目次 (09/13 2018)
• Q and A 回答 (09/13 2018)
• 過去に Moodle に書いた Q and A (未整理の状態でそのまま上げます) (04/04 2025 更新) [New]
  • 2020 年度 (全面遠隔授業) (04/04 2025 更新)
  • 2021 年度 (04/04 2025 更新)
  • 2023 年度 (04/04 2025 更新)
  • 2024 年度 (04/04 2025 更新)

はじめに

講義に関して出た質問と回答をここに上げておくことにします。 アンケートに書かれてあったものは基本的に アンケートのページ に書きますが、そのうちこちらに移動するかも知れません。
(12/14 2005)

Q and A 目次

1. $\mathit{q}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ に垂直で点 A を通る平面は 点 B, 点 C を通るのか
2. $4(3-x{)}^{-2/3}$ の不定積分は $12(3-x{)}^{1/3}+C$ ではないのか
3. 広義積分で、積分範囲を $a+0$ や $b-0$ とすることがいまいち理解できない
4. 広義積分で、その値が無限大になるという判断がわからない
5. 広義積分で、どちらから値に近づければいいのかわからない
6. 大学では「関数」は「函数」と書く方が一般的なのか
7. 小テストの点数を教えて欲しい/現在の小テストの点数で単位は取れるか
8. 二重積分の下の D はどういう意味か
9. 講義の説明が少し早い
10. $(x-1{)}^{-2}$ の不定積分の $(x-1{)}^{-1}\cdot \frac{1}{-1}\cdot \frac{1}{1}+C$ の $\frac{1}{1}$ は何か
11. 体積の公式に出てくる断面積 $S(x)$ はどうやって求めるのか
12. 2 曲線間の面積は負になったら符号を取って答えとしてよいか
13. 接平面はなぜ 1 次近似式として使えるのか
14. 合成関数の微分の $u=4x-3y$ のとき、 $u_x=4$ と書いてもよいか
15. 二重積分の積分領域 D は、 インテグラルの右下に書くのか、下に書くのか
16. ホームページからダウンロードした PDF ファイルはどうやったら印刷できるか

Q and A 回答

Q.1. $\mathit{q}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ に垂直で点 A を通る平面は 点 B, 点 C を通るのか

A.1.

点 A, B, C が三角形を作る場合を考えます。

この場合、$\mathit{q}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ は $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の外積ですから、 $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の両方に垂直なベクトルで、 よって $\mathit{q}$ は △ABC に垂直なベクトルになります。

3 次元では、△ABC に垂直なベクトルは、 A, B, C を通る平面にも垂直で、 そしてその方向は反対向きを除いて一つに決まります。

だから、$\mathit{q}$ に垂直な平面は、 それは A, B, C を通る平面に平行になり、 それが A を通れば B, C も通る平面になります。
(05/09 2016)

Q.2. $4(3-x{)}^{-2/3}$ の不定積分は $12(3-x{)}^{1/3}+C$ ではないのか

A.2.

$12(3-x{)}^{1/3}$ の導関数は、 「$12(3-x{)}^{-2/3}\times \frac{1}{3}=4(3-x{)}^{-2/3}$」ではなく、 「$12(3-x{)}^{-2/3}\times \frac{1}{3}\times (-1)=-4(3-x{)}^{-2/3}$」です。 最後の $(-1)$ は、合成関数の微分の「$(3-x{)}^{\prime }=-1$」です。

一般に「$F^{\prime }(x)=f(x)$」の場合「$\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$」 です。 今の場合、$\frac{1}{a}=-1$ です。
(05/09 2016)

Q.3. 広義積分で、積分範囲を $a+0$ や $b-0$ とすることがいまいち理解できない

A.3.

講義で紹介した計算方法は、 そのようにすれば途中の計算で $lim$ を使わなくて済む、 という工夫なのですが、 いやなら定義通りに計算しても構いません。
(04/24 2017)

Q.4. 広義積分で、その値が無限大になるという判断がわからない

A.4.

その値が無限大になるか、有限な値であるかは、 もう広義積分とは関係ない、単なる極限の問題で、 第 2 週目の講義で一通り基本的な極限については説明してあります。

3 週目の復習問題の [1] 同様の極限の問題を、教科書で復習してみてください。
(04/24 2017)

Q.5. 広義積分で、どちらから値に近づければいいのかわからない

A.5.

[A] のタイプの広義積分は、 関数の値が無限になるところを避けるようにします。

左端、すなわち区間 $[a,b]$ の $a$ の方で $f(x)$ が無限になるなら、 積分範囲の下端 $a$ の方を $a+0$ の極限にし、 右端、すなわち区間 $[a,b]$ の $b$ の方で $f(x)$ が無限になるなら、 積分範囲の上端 $b$ の方を $b-0$ の極限にします。 無限大となる場所を避けるように極限にするわけです。
(04/24 2017)

Q.6. 大学では「関数」は「函数」と書く方が一般的なのか

A.6.

説明については以下をご覧ください。

• 竹野研究室の QandA: 「Q 6.14. 『関数』を『函数』と書いているようですが」

なお、大学の教科書も通常は「関数」としていて、 別に「函数」が一般的なわけではありません。 「関数」と書いてもらって結構です。
(05/15 2017)

Q.7. 小テストの点数を教えて欲しい/現在の小テストの点数で単位は取れるか

A.7.

まず、「点数を教えて」については、点数は通知していません。 小テストの点数を通知するとどういういいことがあるでしょうか。 むしろ、通知したことによって、 あと何点とればいいとか、何点取らないといけないからダメだとか、 点数のことばかりを考え、純粋に学問を学ぶという意識からはずれてしまう というデメリットしか思いつきません。 よって、小テストの点数は通知していませんが、 小テストは返却しているので、 だいたい何割くらいできているかは自分でもわかるはずです。 なお、小テストを返却しているのは、 自分の間違いを確認して、正しくはどうすればいいのかを知るためです。 そういうことをやらないと正しい知識が身につきません。

また、「現在の小テストの点数で単位は取れるか」は、 小テストと期末テストを何点と勘定するかは既に通知してありますから、 それと何割位できているかから自分で考えてみればいいと思いますが、 原理的に、1 回の小テストの点数から単位が取れるかどうかを判定はできません。

もし単位が取れる見込みがない場合はあきらめたい、 という理由なのだとしたら、 「基礎数理 III の内容を学ぶ意志を最初から持ってなくて 授業を聞かなくてもいい」ということでしょうから、 もう履習しなくてもいいんじゃないかと思います。

大学の授業は、皆さんが今後学ぶ学問を理解するための教養を身につける、 社会に出たときに使うための知識を身につける場で、 試験のためのものではありません。 試験のために「やらされている勉強」という姿勢からは早く抜け出すべきです。

以前はこの全く逆で、 「単位は取らなくていいので授業を聞くために出席させてもらっていいですか」 という学生がいたことがあります。 また、「自主ゼミ」といって、学生が自分達で (あるいはアドバイザーとして教員にも入ってもらって) 勉強をする場を持つことも、多くの大学で良く行われています。 大学を有効に活用するとは、 むしろそういう方向なんだろうと思います。
(06/12 2017)

Q.8. 二重積分の下の D はどういう意味か

A.8.

積分範囲 (積分領域) の名前です。 1 変数関数のように積分範囲が簡単には示せないので、 領域の名前で示すのです。
(06/12 2017)

Q.9. 講義の説明が少し早い

A.9.

今の講義のペースは、分量を減らしてかなりスピードを落としていますから、 せめてこれくらいにはついてきてもらいたいと思います。

なお、講義の説明を講義中にすべて理解しようと考えているのであれば、 それは大学の講義の正しい受講態度ではありません。 大学の講義は、 理解していなくてもどんどん進みます。 だから、とりあえずノートを取っておいて、 それを後で見て自分で勉強しなければいけないのです。 国の決まりでも、大学の単位は 1 つの講義に講義と同じ位勉強しなければいけないことになっています。 (cf. 「大学の講義について」)
(04/20 2018)

Q.10. $(x-1{)}^{-2}$ の不定積分の $(x-1{)}^{-1}\cdot \frac{1}{-1}\cdot \frac{1}{1}+C$ の $\frac{1}{1}$ は何か

A.10.

これは、Q.2. と同じで、 かっこの中身が一次式なので、 その一次の項の係数の逆数がつく、 というのを明示したものです。

なくても結果は同じなので書かなくてもいいのですが、 あえて明示すればそうなります。
(04/23 2018)

Q.11. 体積の公式に出てくる断面積 $S(x)$ はどうやって求めるのか

A.11.

「どうやって求めるか」ではなく、 「$S(x)$ が $x$ の式で表されている場合は」 これで計算できる、という公式です。 だから $S(x)$ がわからない立体についてはこの公式では求められません。

回転体は、$S(x)$ が求まる一つの例になっています。
(04/23 2018)

Q.12. 2 曲線間の面積は負になったら符号を取って答えとしてよいか

A.12.

2 つの曲線で囲まれた部分の面積を求める公式は、 上の曲線から下の曲線を引いて積分するのですが、 この質問は、 どちらが上かを考えずに一方から一方を引いて積分して、 答えが負になったらそのまま符号を取ったものを答とする、 というものですが、それでは満点はやれません。

その公式は、あくまで「上から下を引いて積分」という公式で、 その公式を理解していることにならないからです。 つまり、この公式を正しく使うためには、 両者の上下関係を正しく把握する必要がありますが、 上のやり方だとそれをさぼっていることになりますし、 公式を正しく理解していることになりません。

それに、ある $x$ の範囲では $f(x)$ の方が $g(x)$ より上で、別な $x$ の範囲では $g(x)$ の方が $f(x)$ より上、という場合もあります。 そういう面積を求めるためには、両者の上下関係を正しく把握する必要があります。

よって、適当に計算して符号を取る、という方法では満点はやれません。
(05/02 2018)

Q.13. 接平面はなぜ 1 次近似式として使えるのか

A.13.

接平面がグラフに貼りつく平面だからです。 ということは、接点の近くで接平面はグラフに一番近い平面ですし、 逆に接点の近くでグラフに一番近い平面は接平面になります。

1 変数関数の場合、 関数 $y=f(x)$ の $x\doteqdot a$ ($x=a$ の近く) での 1 次近似式は、 $x=a$ での接線の方程式 $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$ になりますが、 それと同じ理屈です。
(05/07 2018)

Q.14. 合成関数の微分の $u=4x-3y$ のとき、 $u_x=4$ と書いてもよいか

A.14.

この質問は、 例えば $z=(4x-3y{)}^3$ の $z_x$ を求めるとき、 $u=4x-3y$ とおくと $z=u^3$ となるので、 合成関数の微分を使えば、

$z_x=(u^3{)}^{\prime }(4x-3y{)}_x=3u^2\times 4=12(4x-3y{)}^2$

$z_x=(u^3{)}^{\prime }{u}_x=3u^2\times 4=12(4x-3y{)}^2$

これは、どちらでも構いません。 「$u_x$」と書くと、実際に微分する際に、 $u$ はなんだったかなと前を見返す必要がありますが、 大差はありません。

なお、これが偏微分でなく、常微分の場合は少し別の問題があります。 例えば、$y=(4x-3{)}^3$ の $y^{\prime }$ を求めるときに、 $u=4x-3$ とおくと $y=u^3$ となるので、

$y^{\prime }=(u^3{)}^{\prime }(4x-3{)}^{\prime }=3u^2\times 4=12(4x-3{)}^2$

$y^{\prime }=(u^3{)}^{\prime }{u}^{\prime }=3u^2\times 4=12(4x-3{)}^2$

「$(u^3{)}^{\prime }$」の方は、 $u$ の式がかっこ内にあるので $u$ での微分だなとわかりますが、 そのすぐ隣にそれとは別の「$x$」での微分を意味する $u^{\prime }$ が書かれるとかなり紛らわしいでしょう。 よって、常微分 (1 変数の微分) の場合は、「$u^{\prime }$」でなく 「$(4x-3{)}^{\prime }$」と書いた方がいいでしょう。

それに対して偏微分の場合は、${}^{\prime }$ ではなく、 何で微分しているのかが右下に書かれてわかりますので、 $u_x$ でも $(4x-3y{)}_x$ でもどちらでも結構です。
(05/28 2018)

Q.15. 二重積分の積分領域 D は、 インテグラルの右下に書くのか、下に書くのか

A.15.

どちらでも結構です。
(06/04 2018)

Q.16. ホームページからダウンロードした PDF ファイルはどうやったら印刷できるか

A.16.

私は iPad のことは良く知らないので iPad でどう印刷できるのかはわかりませんが、 計算機実習室の PC を使ってそこでダウンロードすれば 多分そこで印刷できるでしょう。
(09/13 2018)

過去に Moodle に書いた Q and A

2020 年度以降、講義の Web ページは Moodle が主になり、 そちらにその年度に受けた質問と回答を QandA のセクションに書きました。 それらをこちらに改めてまとめておきますが、 特に整理はしませんし、あくまで当時の回答なので、 例えば 2020 年度の遠隔授業に対するものや、 以前のカリキュラムと内容が一部変わってしまって、 現在にはあてはまらない回答もあります。

2020 年度

• 1. 講義動画をこのサイトを経由せずに視聴しために欠席になってしまいました。 出席にしてもらえませんか。(2020-05-29)

  → 見たことを確認する方法がありませんので出席にはできません。 必ずこのサイトを経由して視聴してください。 なお、出席は成績とは無関係ですので (2/3 の出席は必要)、 成績に不利益になることはありません。

• 2. 中間テストの話は講義動画のどこでしていたでしょうか。 講義動画が多くてみつけられません。(2020-07-09)

  → テストなどの話は、 講義の最初の復習問題の前後だけでしか話をしていませんので、 動画は多くても探すのはさほど手間ではないと思います。 むしろ過去の授業にさかのぼれるのは今年だけの特権です。 そんなことは普通の年の講義ではありえません。

• 3. 遅れて見たのに遠隔授業が欠席になっているのですが。(2020-07-30)

  → 遠隔授業については、 時間割授業の翌日昼位までに視聴していない学生は欠席とみなしていましたが、 視聴の遅れも考慮するように、との指示もありましたので、 本講義の遠隔授業については、翌日昼までに視聴していれば出席、 1 週間以内 (6 日後の 23:59まで) に視聴していれば遅刻、 それ以外は欠席とみなすことにしました。 ただし、Moodle を経由せずに視聴した場合は、 記録がありませんので欠席となります (上の 1.)。

  また、出欠はとりあえず翌日頃にポータルサイトに仮に入力しますが、 遅刻等の修正は 1 週間後位に行います。

• 4. 課題の「フィードバックコメント」はどこに書いてありますか。(2020-08-10)

  → 課題のところをクリックすると、 自分の出した課題の「提出ステータス」がありますが、 そこの「提出コメント」ではなく、 さらにその下の方 (スクロールして見てください) に「フィードバック」とあって、そこにフィードバックコメントがあります。

2021 年度

• 1. 学生証を忘れました。(2021-04-14)

  → 紙で出欠を取っている場合はいいですが、 そうでないときは学生証を忘れると欠席になるので注意してください。 なお学生は、 大学にいる間は学生証を持っていないといけないことになっていますし、 学生証を持っていないと試験も受けることができません。

• 2. 進学したいコースと基礎数理 III の内容の関係は。(2021-04-14)

  → 残念ながら、私は各コースの専門科目の学習内容を把握、 理解しているわけではありません。 よって、シラバスに書いてある程度のことしか知りません。 ただ、日本中のどの工学部でも、 基礎数理 III の内容 (2 変数の微積分と行列) は履修するはずなので、 どの工学分野を学ぶ上でもよく出てくる話だと思います。

• 3. 授業の中で学生とのコミュニケーションがあると良い。(2021-04-14)

  → これは、「学生」が書いている質問なので、「学生と教員」ではなく、 『学生同士」のコミュニケーションのことだと思いますが、 基礎数理は純粋な座学で、グループワークのようなものはありません。

• 4. 復習問題は、6 分で解けないとまずいですか。(2021-04-21)

  → まずくはないですが、 復習問題はあまり時間のかからない基本的な問題を出していますので、 時間がかかるということは理解していない部分があることを意味します。 良く復習してきて、 時間内になるべく多くの問題が解けるようになってください。 また、1 回目はだいぶ時間がかかっても、 2 回目でそれが改善されれば問題ないと思います。

• 5. 広義積分と普通の積分を見分けるには。(2021-04-21)

  → [B] の型の広義積分は積分範囲でわかりますが、 [A] の型の広義積分は、 積分範囲の内部で関数が無限になるかどうかで見極めます。

• 6. 教科書以外の練習問題が欲しい。(2021-04-28)

  → 復習問題がそれです。また、図書館にいけば同等の本、 または演習書がありますから、そこに問題はあると思います。

  なお、似たような問題をたくさん解くのはあまりおすすめではありません。 問題はパターン化して覚えるのではなく、 理屈を理解するために使うべきです。 そのためには、問題が足りないと思ったら、 自分で作ってみるのがいいと思います。

• 7. 例題 9.6 (1) の「$x=0$ で定義されていない」とはどういうことか。 (2021-04-28)

  → 厳密には、関数には定義域と値域があります。 定義域とは、f(x) が意味を持つような x の範囲、 値域とはそのような x に対する f(x) の値の範囲です。 定義域は、狭くもできるのですが、特に断らなければ、 定義できる最大の範囲を暗黙の定義域とします。 例えば、$f(x)=\sqrt{x}$ ならば定義域は $x\ge 0$ です。

  この例題の $f(x)=1/\sqrt{x}$ の場合は、 分母が 0 となる x も外す必要がある (数学では 0 で割ることができない) ので、 定義域は $x>0$ となります。 それ以外の x では関数が値を持ち得ないので、 「定義されていない」と表現しています。

• 8. 広義積分がわざわざ M やεを使う理由は。 最後に代入すればいいだけなのでは。(2021-04-28)

  → 通常高校までに習う積分 (リーマン積分) は、 その厳密な定義 (ほぼ p82-83 のもの) は知らないかもしれませんが、 関数が有界で、積分範囲が有限でなければ定義できません。 だから、広義積分は、普通の積分とは別なものなのです (前回の講義で説明済み)。 実際の形式的な計算では、最後に極限を考えればいいのですが、 定義は別であることは、意識する必要があります。 私も、その意識がない答案 (私の紹介した形式的なものですらなく、 単に代入しただけのもの) は丸にはしません。 広義積分を学んだ、理解したことにならないからです。

  ちなみに、私が紹介している形式的な計算は、 ほとんどの教科書には書かれていませんので、 普通の大学生は広義積分を教科書のように (定義通りに) 解きます。

• 9. 小テストの正答例はありませんか。(2021-06-09)

  → 小テストの正答例は公開していません。

  そもそも大半のテストが正答例など公開していないのではないかと思いますが。

  また、答案返却時に、「間違っているところを自分で確認し、 正しくはどうなるかを学ぶこと」、と言いましたが、 それは自分で教科書やノートを見て確認せよ、という意味です。 試験中には当然それはできませんが、答案を返却された後ならそれが可能です。

  もしそれでもわからなければ、疑問なところがあれば、私に聞いてください。

• 10. 「鞍点」とはどんな点か。(2021-06-16)

  → 教科書 p182 例 12.2 をご覧ください。「峠点」ともいいます。

• 11. 極の判別で、$D<0$ の場合 $A=0$ にならない証明で $B^2<0$ だから矛盾、といったが $B=i$ ならどうか。(2021-06-16)

  → $B$ は $f(x,y)$ の 2 階微分の値 $B=f_{xy}(a,b)$ で、 $f(x,y)$ は実数値関数ですし、$x,y$ も実数変数ですから、 $i$ が出てくることはありません。

• 12. 停留点が 4 つあったとき、最初の 2 点で極大極小が分かれば、 後の 2 点の判別はしなくてもいいか。(2021-06-16)

  → 極大や極小となる点は 1 つしかないわけではありません。 他の 2 点も当然極大や極小の可能性はありますし、 極ではないとしても、そうでないことをちゃんと確認する必要があります。 だから、すべての停留点の判別をしなければ、極値を求めたことにはなりません。

• 13. 行列の資料問8 の AB はなぜ $-20$ になるのか。(2021-07-21)

  → 質問の意図は、$AB=[-6-10-4]$ (1×3 行列) がなぜ $[-20]$ (1×1 行列) になるのか、ということのようですが、 AB は 1×3 行列ではありません。そこが間違えています。 A が 1×3 行列、B が 3×1 行列なので、AB は最初から 1×1 行列です。 見た目が 1×3 行列のように見えたのかもしれませんが、 $AB=[-6-10-4]$ という 1×1 行列です。

• 14. 極座標変換で出てくる r は、被積分関数の方にまとめてよいのか。(2021-07-21)

  → これは、復習問題にあった ${\iint }_{D}ydxdy={\iint }_G(r\sin \theta )rdrd\theta ={\iint }_G{r}^2\sin \theta drd\theta$ という計算の r を 前の r とまとめて $r^2$ としていることに関する質問ですが、 これは逆にまとめないと計算はできないはずです。 極座標変換の $dxdy=rdrd\theta$ についている r は、 定数ではなく関数ですから、被積分関数の式 $f(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ にかけて積分するものです。 1 変数関数の置換積分の $x=u(t)$ のときに $dx=u^{\prime }(t)dt$ とする $u^{\prime }(t)$ と同じで、これも $f(u(t))u^{\prime }(t)$ を t で積分しますよね。 別々に計算するものではありません。

2023 年度

• 1. テストで自然対数を底を省略して $\log x$ と書いたら減点されますか。(2023-04-14)

  → この講義で、私は板書では底は省略せずに ${\log }_{e}x$ と書く、 としましたが、皆さんがそう書くことを強制しているわけではないので、 $\log x$ でも $\ln x$ でも構いません。 ただし、意味がわからない書き方や、 底が高すぎるなどの誤解を受ける書き方をした場合は減点の可能性があります。

• 2. 下の学年に開講される「線形代数」を履修することは可能ですか。(2023-07-14)

  → 「線形代数」今年の後期から新 1 年生向けに開講されますが、 皆さんは下の学年とはカリキュラムが違いますので、 その科目を履修登録することも、単位を修得することもできません。

  ただし、単位が必要ないが授業は聞きたい、ということでしたら、 線形代数担当の教員に相談してください。 席の余裕があれば、聴講を認めてくれるかもしれません。

2024 年度

• 1. $f_x(x,y)$ は $f_{(x)}(x,y)$ と書いてもいいのか。(2024-04-26)

  → だめです。そのような書き方は見たことがありませんので、 人に正しく伝わる書き方ではありません。

• 2. テストの正答例が欲しいのですが。(2024-05-23)

  → そこまで甘えないでください。 答案を返却し、どこが間違えているかを明示しているので、 正しくはどうなるかについては、 自分でノートや教科書などを見て調べてください。 正答例を示せば、何も考えず、 理解せずに形だけを確認することになってしまいます。

  なお、答案の採点に疑問があれば、直接私に質問してください。

• 3. 変数分離形の微分方程式で変数分離するとき、 定数の係数は、右辺に残さなければいけないか。(2024-07-11)

  → その必要はなく、右辺に係数をつけてもいいです。 次の積分がやりやすいように係数は適当に分けたり、 移動したりして構いませんが、一般には右辺にある方が次の積分、 およびその後の整理はしやすいと思います。