基礎数理 III (2 年前期)


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連絡事項

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配布プリント

講義中に配布したプリントをここに置きます。

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その他 (補遺、余談等)


唯一の停留点が極大なら最大か

例年、偏微分の応用として、2 変数関数の極大極小を求める話をしていますが、 工学向けの本ではそこでは停留点を求める計算しか紹介せず、 それが極小であることも、最小であることも示していない場合を 見ることがあります。

しかし、局所的な性質である極小 (極大) と、 大域的な性質である最小 (最大) との関係は、 1 変数関数と 2 変数関数ではだいぶ状況が異なり、 2 変数関数の最大最小の問題は、かなり難しいです。 その一つの例として、

2 変数関数が停留点 (極の候補となる点) を一つしか持たず、 そこでその関数が極大となるならば、 それは全体の最大を与えるか
という問題を考えてみましたので、ここにまとめておきます。

なお、この偏微分の極値問題は、従来 (2007 年度前期以前) ならば 基礎数理 III で扱っていた内容でしたが、 現在は基礎数理 IV で扱っていますので、ここに置きます。


(12/14 2008)

HTML 版に PDF ファイルへのリンクを追加しました。
(01/12 2009)

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極大極小の判別定理 38.2 の証明

基礎数理 IV の教科書に、 2 変数関数の極大、極小の判別の定理として定理 38.2 が紹介されていますが、 この定理の証明は、この教科書もそうですが、 2 変数関数のテイラー展開と、2 次形式の評価によるものが多く見られます。 しかし、その方法は、微小評価や 2 次形式に不慣れな学生には 不向きではないかと思います。

そこで、以前講義で説明したこともある、 方向微分を用いることで、 1 変数関数の場合の極の判別法を応用した、 定理 38.2 の別の証明法を紹介します。


(11/14 2014)

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作成日: 07/09 2018
竹野茂治@新潟工科大学 (shige@iee.niit.ac.jp)