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1 x の x 乗の微分

$x^x$ の微分は、底も指数も定数でないので、通常の $x^a$ や $a^x$ の微分の公式が使えずやや難しい。通常は

• $y=x^x$ とおいて両辺の対数をとり $\log y=x\log x$ として 両辺を微分 (対数微分法)
• $x^x = e^{x\log x}$ と変形して微分

のいずれかを使うのではないかと思われる。

ここでは、例年基礎数理 III で紹介している 2 変数関数の合成関数の微分法:

$z=f(x,y)$ に $x=x(t)$, $y=y(t)$ を代入した $z=f(x(t),y(t))$ に対して、

$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} +\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

を用いる方法を紹介する¹。

$z=x^y$ とすると、

$$\frac{\partial z}{\partial x} = yx^{y-1},\hspace{1zw} \frac{\partial z}{\partial y} = x^y\log x$$

となるので、$z=t^t$ を $z=x^y$ に $x=t$, $y=t$ を代入したものと考えれば 2 変数関数の合成関数の微分法により

$$\begin{eqnarray*} (t^t)' & = &\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} +\fra... ...dot 1 = t\cdot t^{t-1} + t^t\log t \\ & = & t^t + t^t \log t \end{eqnarray*}$$

となり、よって $(x^x)' = x^x + x^x \log x$ が得られる。

この方法のいいところは、常微分の範疇ではこの関数には使えない 通常の $x^a$ や $a^x$ の微分の公式が、偏微分では使える、という点にある。

ただし、もちろん偏微分をやった後でないと学生には紹介できない。

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