講義に関して出た質問と回答をここに上げておくことにします。
アンケートに書かれてあったものは基本的に
アンケートのページ
に書きますが、そのうちこちらに移動するかも知れません。
(06/13 2005)
基礎数理 II と基礎数理 III の内容が、2007 年度後期から
(2007 年度入学生から) 入れかわっています。
よってここの QandA は、2006 年以前の入学生にとっては基礎数理 III、
2007 年度以降の入学生にとっては基礎数理 II の QandA になっています。
(01/27 2008)
1.
講義のやり方での定積分の置換積分は、
置換したところで範囲も変換してもよいか
2. 答案に書かれている○、□、△、×はどういう意味か
3. 答案に書かれている L の反対 (」) のような記号は、
こう書け、という意味か
4. fx(x,x) はどういう意味か
5. 留年生、再履修者はこの基礎数理 II を取れるか
6. B クラスから A クラスに移りたいのですが
7. 部分分数分解で分母が 0 になる値を代入していいんですか
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これは、講義で紹介した定積分の置換積分の話で、 私の紹介したやり方は、まず
のように、定積分を不定積分の値の差と書き直し、 その上で不定積分のレベルで置換積分を行い (u=g(x))、
のように計算し、最後は、
のように中の式を x に戻して x=b, x=a を代入して差を計算してもいいですし、
のように代入する方の値を u に直して u=g(b), u=g(a) を代入して 差を計算してもいい、という話をしました。
で、この質問は、最初の置換積分を行う段階で、外に出ている代入する値を
のように変換してしまっても構わないか、というものでした。 もちろん、これでも構いません。
しかしそれができるようなら
それは本質的に定理 27.1 でやっているのと変わらないので
(私の方法を使うメリットも少し減る)、
無理矢理私の方法でやらなくても、
最初から定理 27.1 でやっても構いませんよ。
(06/13 2005)
○は正解、□はちょっと惜しい (少し減点)、△はもう少し悪い (もう少し減点)、 ×は不正解 (点数はあげられない) を意味しています。 それぞれの点数は問題によって違います。
なぜ□を△よりもいいものを表すのに使うのかというと、
□の方が△よりも○に近いからです。
(08/03 2005)
いや、違います。それは私の採点のときに書く記号で、
そこまでは合ってる、ということを意味します。
それを目安にすれば、どこで間違えているかわかるでしょう。
(08/03 2005)
これは、 「f(x,y) を x で偏微分した式 (=fx(x,y)) に y=x を代入したもの」 になります。 同様に、fy(x,x) は、 「f(x,y) を y で偏微分した式 (=fy(x,y)) に y=x を代入したもの」 となります。limit を使って言えば、fx(x,x) は、
{f(x+h,x)-f(x,x)}/hの h→0 のときの極限です。
f(x,y) に y=x を代入すると f(x,x) となるので、これを x で偏微分すると 合成関数の微分により、
{f(x,x)}x = fx(x,x)+fy(x,x)となります。 だから、{f(x,x)}x と fx(x,x) とは意味が違います。 limit を使って言えば、{f(x,x)}x は
{f(x+h,x+h)-f(x,x)}/hの h→0 のときの極限です。
基礎数理 II は、2007 年度入学者から 基礎数理 III と内容が入れ替わりました。 よって、2006 年度以前の入学者にとっては、 基礎数理 II、III は 2008 年度から読み替え科目になります。
よって、
基礎数理 II は、2007 年度入学者から
基礎数理 III と内容が入れ替わりましたので、
それ以降この質問が出るようになりました。
これは、以前の基礎数理 II (現在の基礎数理 III) の
QandA のページ
の
回答 (Q.1)
を参照してください。
(10/09 2008)
例を使って説明します。 ただし、以下では A/B は「B 分の A」、A/BC は「BC 分の A」 という分数を意味することとします。
部分分数分解は通分の逆であり、例えば (2x-5)/(x+2)(x-1) という分数に対して、
(2x-5)/(x+2)(x-1) = A/(x+2) + B/(x-1) ... (1)となるような A, B を求める問題になるわけですが、 これを解く場合、(1) の分母を払って、
2x-5 = A(x-1) + B(x+2) ... (2)として、ここから A, B を求めます。その方法はいくつかありますが、 例えば、以下のようなものが代表的な方法です。
この質問は、この後者の方法に関するもので、 x=1 を代入すれば -3 = 3B より B=-1, x=-2 を代入すれば -9 = -3A より A=3 と簡単に求まるのですが、 この「簡単に求めることのできる x=1, x=-2 という値は、 そもそも (1) の分母が 0 になってしまうものなので、代入してはいけないのでは」 というのが質問の意図だと思います。
まず結論から言えば、これらの値を代入しても構いません。 その理由を、極限の考え方を用いて数学的に説明します。
(1) の式は確かに x=-2, x=1 は代入できない式ですが、 それ以外のすべての x で成り立たなければいけない式です。 よって (2) も、とりあえずは x=-2, x=1 以外のすべての x で 成り立つべき式です。
ところで、この (2) の両辺はいずれも単なる多項式ですから、 x=-2, x=1 も込めて連続関数であり、左辺を f(x) (= 2x-5)、 右辺を g(x) (= A(x-1) + B(x+2)) とし、 例えば x=1 の方を考えますと、
ということが言えます。この 1., 2., 3. により、 f(1)=g(1) が成り立つことが言えます。 すなわち、(2) が x=1 でも成り立つことになるので、 x=1 を代入しても構わないわけです。
分母を払った式は、
確かに元々分母が 0 になるような x の値に対しては成り立たないわけですが、
その点以外のその点の近くでは成り立っていて、しかも連続なので、
その点でも成り立つことになる、という仕組みです。
ということで、もっと複雑な場合の部分分数分解でも同様で、
元の式の分母が 0 になる x の値でも、
分母を払った式に代入して構いません。
(03/06 2009)