4 加法定理

三角関数では、次のような加法定理が成り立つ。

$$\begin{array}{ll} \sin(x+y) & =\sin x\cos y + \cos x\sin y,\\ \cos(x+y) & =\cos x\cos y - \sin x\sin y \end{array}$$ (8)

それと同様に、双曲線関数に対しても次のような加法定理が成り立つ。

$$\begin{array}{ll} \sinh(x+y) & =\sinh x\cosh y + \cosh x\s... ...\\ \cosh(x+y) & =\cosh x\cosh y + \sinh x\sinh y \end{array}$$ (9)

例えば (9) の 2 本目の式は、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y = \frac{e^x+e^{-x}}{2}\... ...^{-y}) &=& \frac{1}{2} (e^{x+y}+e^{-x-y}) = \cosh (x+y)\end{eqnarray*}$$

のようにして確認できる。$\tan x$, $\tanh x$ に対する加法定理も、 (8), (9) の 1 本目を 2 本目の式でそれぞれ割ることで、

$$\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y},\hspace{1zw} \tanh(x+y)=\frac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}$$

のように得られる。