3 平均が満たすべき条件

本節では、各平均値に以下のように名前をつけ、 それらが満たすべき条件を見ていくことにする:

$$\bar{x} = X_1, \hspace{0.5zw}\bar{y} = Y_1, \hspace{0.5zw... ...ce{0.5zw}\overline{y^2} = Y_2, \hspace{0.5zw}\overline{xy} = Z$$ (7)

まず、(2), (3) の定義より これらは非負の値なので、

$$\overline{x^2}\geq (\bar{x})^2, \hspace{1zw} \overline{y^2}\geq (\bar{y})^2,$$

すなわち

$$X_2\geq X_1^2, \hspace{1zw}Y_2\geq Y_1^2$$ (8)

の関係が成り立つ。 これらは、以下のようにシュワルツの不等式から導くこともできる:

$$\begin{eqnarray*}(\bar{x})^2 &=& \left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)^2 ... ...ert^2n = \frac{1}{n}(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2) = \overline{x^2}\end{eqnarray*}$$

同じように、シュワルツの不等式より、

$$\begin{eqnarray*}(\overline{xy})^2 &=& \frac{1}{n^2}(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny... ...ots+x_n^2)(y_1^2+\cdots+y_n^2) = \overline{x^2} \overline{y^2}\end{eqnarray*}$$

となるので、

$$Z^2\leq X_2Y_2$$ (9)

の関係が成り立つことがわかる。

さらに、(4) の $s_{xy}$ の定義式にシュワルツの不等式を用いると、

$$(s_{xy})^2 = \frac{1}{n^2}\{(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+\cdots +(x_n-\bar{x})(y_n-\bar{y})\}^2$$

$$= \frac{1}{n^2}\{(\overrightarrow{x}-\bar{x}\overrightarrow{n})\mat... ...htarrow{n}\vert^2\vert\overrightarrow{y}-\bar{y}\overrightarrow{n}\vert^2 %=$$

$$= \frac{1}{n^2}\left(\sum_{k=1}^n(x_k-\bar{x})^2\right) \left(\sum_{k=1}^n(y_k-\bar{y})^2\right) %\nonumber &=& = s_x^2s_y^2$$ (10)

となるので、 これに (2), (3), (4) の 右辺の式を代入して平均の式に置き換えると

$$(\overline{xy}-\bar{x} \bar{y})^2 \leq \{\overline{x^2}-(\bar{x})^2\}\{\overline{y^2}-(\bar{y})^2\}$$

となり、よって

$$(Z-X_1Y_1)^2\leq(X_2-X_1^2)(Y_2-Y_1^2)$$ (11)

の関係が成り立つことになる。

なお、この (10) の関係は、相関係数 $r$ が $-1\leq r\leq 1$ を満たすことを意味している。