3 平均が満たすべき条件

本節では、各平均値に以下のように名前をつけ、 それらが満たすべき条件を見ていくことにする:
\begin{displaymath}
\bar{x} = X_1,
\hspace{0.5zw}\bar{y} = Y_1,
\hspace{0.5zw...
...ce{0.5zw}\overline{y^2} = Y_2,
\hspace{0.5zw}\overline{xy} = Z\end{displaymath} (7)

まず、(2), (3) の定義より これらは非負の値なので、

\begin{displaymath}
\overline{x^2}\geq (\bar{x})^2,
\hspace{1zw}
\overline{y^2}\geq (\bar{y})^2,
\end{displaymath}

すなわち
\begin{displaymath}
X_2\geq X_1^2, \hspace{1zw}Y_2\geq Y_1^2\end{displaymath} (8)

の関係が成り立つ。 これらは、以下のようにシュワルツの不等式から導くこともできる:
\begin{eqnarray*}(\bar{x})^2
&=&
\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)^2
...
...ert^2n
= \frac{1}{n}(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)
= \overline{x^2}\end{eqnarray*}


同じように、シュワルツの不等式より、

\begin{eqnarray*}(\overline{xy})^2
&=&
\frac{1}{n^2}(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny...
...ots+x_n^2)(y_1^2+\cdots+y_n^2)
=
\overline{x^2} \overline{y^2}\end{eqnarray*}


となるので、
\begin{displaymath}
Z^2\leq X_2Y_2\end{displaymath} (9)

の関係が成り立つことがわかる。

さらに、(4) の $s_{xy}$ の定義式にシュワルツの不等式を用いると、

$\displaystyle (s_{xy})^2$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{n^2}\{(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+\cdots
+(x_n-\bar{x})(y_n-\bar{y})\}^2$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{n^2}\{(\overrightarrow{x}-\bar{x}\overrightarrow{n})\mat...
...htarrow{n}\vert^2\vert\overrightarrow{y}-\bar{y}\overrightarrow{n}\vert^2
%=
$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{n^2}\left(\sum_{k=1}^n(x_k-\bar{x})^2\right)
\left(\sum_{k=1}^n(y_k-\bar{y})^2\right)
%\nonumber &=&
=
s_x^2s_y^2$ (10)

となるので、 これに (2), (3), (4) の 右辺の式を代入して平均の式に置き換えると
\begin{displaymath}
(\overline{xy}-\bar{x} \bar{y})^2
\leq \{\overline{x^2}-(\bar{x})^2\}\{\overline{y^2}-(\bar{y})^2\}
\end{displaymath}

となり、よって
\begin{displaymath}
(Z-X_1Y_1)^2\leq(X_2-X_1^2)(Y_2-Y_1^2)\end{displaymath} (11)

の関係が成り立つことになる。

なお、この (10) の関係は、相関係数 $r$ $-1\leq r\leq 1$ を満たすことを意味している。

竹野茂治@新潟工科大学
2014年11月18日