2 シュワルツの不等式

今回の評価では、次のシュワルツの不等式を利用する。

定理 1.

実数 $x_k$, $y_k$ ( $k=1,2,\ldots n$) に対して、 次の不等式が成り立つ。

$$\left(\sum_{k=1}^n x_k y_k\right)^2 \leq \left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^n y_k^2\right)$$ (6)

等号が成立するのは、 $x_1:y_1=x_2:y_2=\cdots = x_n:y_n$ の場合である。

$n$ 次元ベクトル $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$, $\overrightarrow{y}=(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ の内積 $\overrightarrow{x}\mathrel{・}\overrightarrow{y}$、 および長さ $\vert\overrightarrow{x}\vert$ は

$$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{x}\mathrel{・}\overrightarrow{y} &=& \sum_{k=1... ... &=& \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2} = \sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}\end{eqnarray*}$$

と定義されるので、これを用いれば不等式 (6) は簡単に

$$(\overrightarrow{x}\mathrel{・}\overrightarrow{y})^2\leq \ve... ...\leq \vert\overrightarrow{x}\vert\vert\overrightarrow{y}\vert)$$

と書くことができるし、 等号が成立する条件も、 $\overrightarrow{x}\mathrel{/\!/}\overrightarrow{y}$ と書き表すことができる。