4.3 相互作用がある場合
次は近づく波が含まれ、相互作用がある場合を考える。
以後、この節では簡単のため、
の場合に限定して証明を行う。
一般の
の場合の証明は、[Yong], [Dafermos] などを参照のこと。
の場合は、
![\begin{displaymath}
\varepsilon
=\beta(\gamma,\delta;U_L)
=\beta(\gamma_1,\gamma_2,\delta_1,\delta_2;U_L)\end{displaymath}](img309.gif) |
(4.37) |
であり、これを
,
に関してテイラー展開する。
まず、
のときは
なので、
となり、
よって、
![\begin{displaymath}
\beta(0,\delta;U_L)=\delta\end{displaymath}](img314.gif) |
(4.38) |
となる。また、
のときは、
なので、
より
![\begin{displaymath}
\beta(\gamma,0;U_L)=\gamma\end{displaymath}](img317.gif) |
(4.39) |
であることがわかる。
よって、(4.8) を展開すると
その 1 次の項は
となる。
そして、(4.9), (4.10) より
と書けるが、この右辺を次のように分ける:
| ![$\displaystyle {\varepsilon -\gamma-\delta
=A_1+A_2+A_3+A_4},$](img320.gif) |
| ![$\displaystyle A_1$](img321.gif) |
![$\textstyle =$](img117.gif) |
![$\displaystyle \beta(\gamma_1,\gamma_2,\delta_1,\delta_2)
-\beta(\gamma_1,\gamma...
...elta_1,\delta_2)
+\beta(\gamma_1,0,0,\delta_2),%\label{eq:interaction:A1_def}
$](img322.gif) |
(4.41) |
| ![$\displaystyle A_2$](img323.gif) |
![$\textstyle =$](img117.gif) |
![$\displaystyle \beta(\gamma_1,\gamma_2,0,\delta_2)
-\beta(\gamma_1,\gamma_2,0,0)...
...(\gamma_1,0,0,\delta_2)
+\beta(\gamma_1,0,0,0),%\label{eq:interaction:A2_def}
$](img324.gif) |
(4.42) |
| ![$\displaystyle A_3$](img325.gif) |
![$\textstyle =$](img117.gif) |
![$\displaystyle \beta(\gamma_1,0,\delta_1,\delta_2)
-\beta(\gamma_1,0,0,\delta_2)...
...(0,0,\delta_1,\delta_2)
+\beta(0,0,0,\delta_2),%\label{eq:interaction:A3_def}
$](img326.gif) |
(4.43) |
| ![$\displaystyle A_4$](img327.gif) |
![$\textstyle =$](img117.gif) |
![$\displaystyle \beta(\gamma_1,0,0,\delta_2)
-\beta(\gamma_1,0,0,0)
-\beta(0,0,0,\delta_2)
+\beta(0,0,0,0) %\label{eq:interaction:A4_def}
$](img328.gif) |
(4.44) |
しかし、
の波はすべて近づかないので、
補題 4.3 より、
となり、よって
(4.9), (4.10) より
は
![\begin{displaymath}
A_4
= {}^T\!(\gamma_1,\delta_2)- {}^T\!(\gamma_1,0)- {}^T\!(0,\delta_2)+0
=0\end{displaymath}](img332.gif) |
(4.45) |
となる。
は、
![\begin{eqnarray*}A_1
&=&
\left[\beta(\gamma_1,\gamma_2,\tau\delta_1,\delta_2)
...
...igma\gamma_2,\tau\delta_1,\delta_2)d\sigma d\tau \gamma_2\delta_1\end{eqnarray*}](img334.gif)
と変形できるので、
に対して、
とすると、
![\begin{displaymath}
\vert A_1\vert\leq M_3\vert\gamma_2\vert \vert\delta_1\vert\end{displaymath}](img336.gif) |
(4.46) |
と評価できる。
は、
と
が近づかなければ、
補題 4.3 より
![\begin{displaymath}
A_2
= {}^T\!(\gamma_1,\gamma_2+\delta_2)
- {}^T\!(\gamm...
...mma_2)
- {}^T\!(\gamma_1,\delta_2)
+ {}^T\!(\gamma_1,0)
=0\end{displaymath}](img340.gif) |
(4.47) |
であり、近づく場合は
と同様に
![\begin{displaymath}
\vert A_2\vert = \left\vert
\int_0^1\int_0^1\frac{\partial...
..._2
\right\vert
\leq M_3\vert\gamma_2\vert \vert\delta_2\vert\end{displaymath}](img341.gif) |
(4.48) |
となる。同様に
も、
と
が近づかなければ、
![\begin{displaymath}
A_3
= {}^T\!(\gamma_1+\delta_1,\delta_2)
- {}^T\!(\gamm...
...lta_2)
- {}^T\!(\delta_1,\delta_2)
+ {}^T\!(0,\delta_2)
=0\end{displaymath}](img345.gif) |
(4.49) |
近づく場合は、
と同様に
![\begin{displaymath}
\vert A_3\vert = \left\vert
\int_0^1\int_0^1\frac{\partial...
..._1
\right\vert
\leq M_3\vert\gamma_1\vert \vert\delta_1\vert\end{displaymath}](img346.gif) |
(4.50) |
となるので、
(4.11),(4.16),
(4.17),
(4.18), (4.19),
(4.20), (4.21)
により、結局定理 4.1 が得られることになる。
なお、[Yong] には
を求めることにより、
(4.1) よりも詳しい評価式
が示されている。
この (4.22) によれば、
2 次の項は
の波の相互作用のみであり、
で近づく波 (同じ特性方向の波) の相互作用の影響は
実際には 3 次以上の項であることがわかる。
竹野茂治@新潟工科大学
2009年1月18日