5.4.0.1 [A-1] の場合

この場合、$i$-,$j$-特性族に出る front の世代はそれぞれ $k'$, $k''$ のままで、 (52) よりそれ以外の特性族に出る front の 世代は $k$ 以上となる。 よって $\Delta V_k(\tau)$ は、

$$\Delta V_k(\tau) =\sum_{\ell\neq i,j}\vert\bar{\sigma}_\ell\vert ... ...\sigma'_i\vert) + \varepsilon'(\vert\bar{\sigma}_j\vert-\vert\sigma''_j\vert)$$

のいずれかの形となる ($\varepsilon$, $\varepsilon'$ は 0 または 1)。 よっていずれにしても

  $$\Delta V_k(\tau) \leq \sum_{\ell\neq i,j}\vert\bar{\sigma}_\ell\vert +\vert\bar{\sigma}_i-\sigma'_i\vert+\vert\bar{\sigma}_j-\sigma''_j\vert$$ (56)

で評価され、 Lemma 7.2 (i) より (53) の 1 本目が得られる。

同様に $\Delta Q_{k-1}(\tau)$ は、

$${\Delta Q_{k-1}(\tau)}$$

$$\leq \sum_{\ell\neq i,j}\vert\bar{\sigma}_\ell\vert Sw(\bar{\sigma}_\e... ...ma}_j-\sigma''_j\vert(S''_j-\vert\sigma'_i\vert) -\vert\sigma'_i\sigma''_j\vert$$ (57)

となる。ここで、 $S'_i$ は $Q_{k-1}(\tau-)$ に含まれる $\vert\sigma'_i\vert$ の係数、 $S''_j$ は $Q_{k-1}(\tau-)$ に含まれる $\vert\sigma''_j\vert$ の係数で、 もし $k'\geq k-1$ なら $S'_i=Sw(\sigma'_i)$ となるが、 $k'<k-1$ なら $S'_i\leq Sw(\sigma'_i)$ であり、 $S'_i$ は $Sw(\sigma'_i)$ のうち $(k-1)$ 以上の世代の項のみの和となる。 $S''_j$ も同様。

いずれにせよ、 $Sw(\bar{\sigma}_\ell)$, $S'_i-\vert\sigma''_j\vert$, $S''_j-\vert\sigma'_i\vert$ は $\sigma'_i$, $\sigma''_j$, $\bar{\sigma}_\ell$ を 含まず、よって $V(\tau-)$ に含まれるので、

$$\Delta Q_{k-1}(\tau) \leq -\vert\sigma'_i\sigma''_j\vert +\left(... ...{\sigma}_i-\sigma'_i\vert +\vert\bar{\sigma}_j-\sigma''_j\vert\right)V(\tau-)$$

となり、Lemma 7.2 (i) より (53) の 2 本目が得られる。