3.7 $Q$ の評価: [S-1] の場合

次は simplified method の場合を考える。 まずは、[S-1] の場合を考える (p131 Figure 7.7)。

この場合生成される $\sigma_k$ は $\sigma''_j$, $\sigma'_i$, $\sigma_{np}$ で、

$$Aw(\sigma''_j;\tau+) = Aw(\sigma''_j;\tau-)\setminus\{\sigma'_i\}, \hspace{1zw} Aw(\sigma'_i;\tau+) = Aw(\sigma'_i;\tau-)\setminus\{\sigma''_j\}$$

であり、また $Aw(\sigma_{np};\tau +)$ は衝突点より右にある 物理 front 全部になるので、$t=\tau-$ での front 全体に含まれ、よって

$$\begin{array}{l} \displaystyle Sw(\sigma''_j;\tau+)=Sw(\sigma''_... ...igma''_j\vert,\\ \displaystyle Sw(\sigma_{np};\tau+)\leq V(\tau-) \end{array}$$

となり、よって、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{Q(\tau+)-Q(\tau-)} \ &=& \vert\sigma''_j\vert Sw(\s... ...ert\sigma'_i\sigma''_j\vert +\vert u_r-\tilde{u}_r\vert V(\tau-)\end{eqnarray*}$$

となるので、Lemma 7.2 (iii) より (7.56') が得られることがわかる。