7 B⁽¹⁾_n の 特異性の回避と Tartar 方程式

5 節では $B^{(0)}_n$ の有界性とその極限、 6 節では $B^{(1)}_n$ の有界性とその極限を求めたが、 実は $B^{(1)}_n$ の方は $\tau<1$ の場合には $w=a,z=a$ で 特異性を持つので、このままでは $\nu$ での積分ができない。 すなわち、$w,z$ が $a$ の近くで $\eta^{(1)}$ は有界では ないので、 $\langle\eta^{(1)}\rangle =\langle\nu,\eta^{(1)}\rangle$ が 有限であるという保証がない。

本節ではそれを回避するために、命題 5 の評価に もとづいて、$\nu$ よりも先に $a$ での積分を行うような式が 得られかどうかを考察する。

まず、$\eta^{(1)}$ を生成するための極限に戻して考える。 $\phi_0\in\mathcal{S}$ で $\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\phi_0(t)dt = 1$ と なるものを一つ取り、

$$\phi_m(s) = m\phi_0(m(s-a))\hspace{1zw}(m\in \mbox{\boldmath$N$})$$

とし、

  $$\left\{\begin{array}{ll} \eta^{(1)}_m &= \displaystyle \int_z^w... ... -\theta\int_z^w(w-s)^{\tau+1}(s-z)^{\tau} (-\phi_m'(s))ds \end{array}\right.$$ (81)

とする。当然これらは滑らかで、 $m\rightarrow\infty$ のときに $a=w$, $a=z$ を除いて $\eta^{(1)}_m\rightarrow\eta^{(1)}$, $\sigma^{(1)}_m\rightarrow\sigma^{(1)}$ となる。 $\eta_n$, $\sigma_n$ は、(57) で 考えれば $a,w,z$ に関して滑らかで、 $\eta^{(0)}$, $\sigma^{(0)}$ も連続であり、 よって $m$ の極限を取る前の段階では、当然

  $$\left\{\begin{array}{ll} B^{(1)}_{n,m} &= \eta^{(1)}_m\sigma_n-... ...0,1,m} &= \eta^{(0)}\sigma^{(1)}_m-\eta^{(1)}_m\sigma^{(0)} \end{array}\right.$$ (82)

は滑らかなので、問題なく $\nu$ で積分ができ、 Darboux エントロピーに対して Tartar 方程式が成り立てば、 前の考察 [3] と同様にして、

  $$\langle B_{0,1,m}\rangle \langle B_n\rangle =\langle B^{(0)}_n... ...1)}_{n,m}\rangle -\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle \langle B^{(1)}_{n,m}\rangle$$ (83)

も成り立つ。

(83) の両辺を $a$ で積分し Fubini の定理を用いると、

  $$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\langle B_{0,1,m}\rangle \l... ...1)}_{n,m} -\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle B^{(1)}_{n,m}\right\}da\right\rangle$$ (84)

と変形できる。 この式で $m\rightarrow\infty$ の極限を取ることで

  $$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}h(a)\langle B_n\rangle da ... ...}^{(1)}_{n} -\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle B^{(1)}_{n}\right\}da\right\rangle$$ (85)

の式を得ることができるかどうか、 そしてさらにこの式の右辺の $n\rightarrow\infty$ の極限を 考察するのが本節の目標である。 それには次の順で検討していく。

• (B1) (84) の左辺の $m\rightarrow\infty$ のときの極限
• (B2) $n$ を固定した上で、
  $$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\vert B^{(1)}_{n,m}\vert da$$
  が $w,z\in [z_1,w_1]$ 上 $m$ に関して一様有界であること
• (B3) $n$ を固定した上で、 $m\rightarrow\infty$ のときに
  $$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangl... ...nt_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle B^{(1)}_n da$$
  となること
• (B4) $w,z\in [z_1,w_1]$ 上
  $$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle B^{(1)}_n da$$
  が $n$ に関して一様有界であること、 およびその $n\rightarrow\infty$ のときの極限

まずは (B1) から考える。$B_{0,1,m}$ は、

$$\begin{eqnarray*}B_{0,1,m} &=& \eta^{(0)}(\sigma^{(1)}_m+\theta(w-a)\eta^{(1)}... ...&=& \theta\eta^{(0)}(a)\int_z^w\eta^{(0)}(s)(-(s-a)\phi_m'(s))ds\end{eqnarray*}$$

であるが、

$$-(s-a)\phi_m'(s) = -(s-a)m^2\phi_0'(m(s-a)) = m\tilde{\phi}_0(m(s-a))$$

となるので、これを $\tilde{\phi}_m(s)$ と書けば

$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\tilde{\phi}_m(s)ds =\int_{\... ...$}}\tilde{\phi}_0(t)dt = \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\phi_0(t)dt = 1$$

となり、$B_{0,1,m}$ は

  $$B_{0,1,m} = \theta\eta^{(0)}(a)\int_z^w\eta^{(0)}(s)\tilde{\phi}_m(s)ds$$ (86)

となる。$\eta^{(0)}(s)$ は有界なので、

$$\vert B_{0,1,m}\vert \leq \theta\eta^{(0)}(a)\Vert\eta^{(0)}\Ver... ...a\eta^{(0)}(a)\Vert\eta^{(0)}\Vert _{L^\infty} \Vert\tilde{\phi}_0\Vert _{L^1}$$

となり、よって $w,z\in [z_1,w_1]$ 上 $B_{0,1,m}$ は $m$ に 関して一様有界で、

$$B_{0,1,m} = \theta\eta^{(0)}(a)\int_{Z_m}^{W_m} \eta^{(0)}\left(a+\frac{t}{m}\right) \tilde{\phi}_0(t)dt$$

と置換すると、$\eta^{(0)}(s)$ は有界でかつ連続であり、 $\eta^{(0)}(a)$ 倍があるので $z<a<w$ と考えてよく (その他の場合は 0)、 そのとき $m\rightarrow\infty$ に対して $Z_m\rightarrow -\infty$, $W_m\rightarrow\infty$ となるので Lebesgue 収束定理より、

$$B_{0,1,m} \rightarrow \theta\eta^{(0)}(a)\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\eta^{(0)}(a)\tilde{\phi}_0(t)dt =\theta\eta^{(0)}(a)^2$$

となり、$B_{0,1,m}$ の有界性から再び Lebesgue 収束定理より

  $$\langle B_{0,1,m}\rangle \rightarrow \theta\langle\eta^{(0)}(a)^2\rangle = h(a)$$ (87)

となることがわかる。

そして、(86) より $B_{0,1,m}$ には $\eta^{(0)}(a)$ 倍が含まれるため、$(w,z)$ が $\nu$ の台に 含まれるとき、$a<z_1$, $a>w_1$ の $a$ に対しては $B_{0,1,m}=0$ となり、よって、 $\langle B_{0,1,m}\rangle$ は $a$ の 関数として $a<z_1$, $a>w_1$ では 0 となる。

また、$n$ を固定すれば、 (57) より $B_n$ は $(w,z)\in\Sigma(w_1,z_1)$ に対して有界で、 よって (87) と Lebesgue 収束定理により、

$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\langle B_{0,1,m}\rangle \la... ... da \rightarrow \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}h(a)\langle B_n\rangle da$$

となり、よってこれで (B1) が示されたことになる。 なお、最後の極限は、Fubini の定理を用いると、

  $$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}h(a)\langle B_n\rangle da =\left\langle\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}h(a)B_nda\right\rangle$$ (88)

と書くこともできる。

次は (B2)。 $n$ を固定していれば (57) より $\eta_n$, $\sigma_n$ は $w,z\in [z_1,w_1]$, $a\in\mbox{\boldmath$R$}$ 上 有界でかつ連続となる。 $\eta^{(1)}_m$ は、部分積分により、

	$$\eta^{(1)}_m$$	$=$	$$\int_z^w\eta^{(0)}(s)(-\phi_m'(s))ds \ =\ \int_z^w\{\eta^{(0)}(s)\}'\phi_m(s)ds$$
		$=$	$$\tau\int_z^w\{-(w-s)^{\tau-1}(s-z)^\tau +(w-s)^\tau(s-z)^{\tau-1}\}\phi_m(s)ds$$	(89)

となるので、

	$${\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\vert\eta^{(1)}_m\vert da}$$
		$\leq$	$$\tau\int_z^w\{(w-s)^{\tau-1}(s-z)^\tau +(w-s)^\tau(s-z)^{\tau-1}\}ds \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}m\vert\phi_0(m(s-a))\vert da$$
		$=$	$$2\tau(w-z)^{2\tau}\mathop{\mathit{B}}(\tau+1,\tau)\Vert\phi_0\Vert _{L^1}$$	(90)

より $\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\vert\eta^{(1)}_m\vert da$ は $w,z\in [z_1,w_1]$ 上 $m$ に関して一様有界となる。よって、
$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\vert\eta^{(1)}_m\sigma_n\vert da$ も、$n$ を固定していれば、同じく $m$ に関して一様有界となる。 同様に、 $\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\vert\eta_n\sigma^{(1)}_m\vert da$ の $m$ に関する一様有界性も容易に示され、これで

$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\vert B^{(1)}_{n,m}\vert da ... ...scriptsize\boldmath$R$}}\vert\eta_n\sigma^{(1)}_m-\eta^{(1)}_m\sigma_n\vert da$$

が $w,z\in [z_1,w_1]$ 上 $m$ に関して一様有界であること、 すなわち (B2) が示されたことになる。

そして、命題 4 より、 $\hat{B}^{(0)}_n$ は $n$ を 固定しなくても $w,z\in [z_1,w_1]$, $a\in\mbox{\boldmath$R$}$ 上 ($n$ に関して一様に) 有界だから、 $\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle$ も $a$ に関して有界となり、 よってこの (B2) により

$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\left\vert\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle B^{(1)}_{n,m}\right\vert da$$

も $w,z\in [z_1,w_1]$, $a\in\mbox{\boldmath$R$}$ 上 $m$ に関して一様有界となる。

次は (B3)。まずは

  $$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\langle\hat{B}^{(0)}_n\rang... ...}}\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle (\eta^{(1)}_m\sigma_n-\eta_n\sigma^{(1)}_m)da$$ (91)

の前半の方を考えると、

	$${\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\langle\hat{B}^{(0)}_n\rang... ...\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle \sigma_n da \int_z^w\eta^{(0)}(s)(-\phi_m'(s))ds}$$
		$=$	$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle \sigma_n da \int_z^w\eta^{(1)}(s)\phi_m(s)ds$$
		$=$	$$\int_z^w\eta^{(1)}(s)ds\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle (a)\sigma_n(a) m\phi_0(m(s-a))da$$
		$=$	$$\int_z^w\eta^{(1)}(s)ds\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}} \lan... ...rangle \left(s-\frac{t}{m}\right) \sigma_n\left(s-\frac{t}{m}\right)\phi_0(t)dt$$	(92)

となるが、

$$\eta^{(1)}(s)=\tau(w-s)^{\tau-1}(s-z)^{\tau-1}(w+z-2s)X_0(w,z;s)$$

は $s$ に関して $L^1$、 $\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle (a)$, $\sigma_n(a)$ は 固定した $n$ に対しては $a$ に関して連続でかつ有界となる。 $\phi_0$ は $L^1$ なので、 よって Lebesgure 収束定理が適用でき、 $m\rightarrow\infty$ のときに (92) は

$$\begin{eqnarray*}\int_z^w\eta^{(1)}(s)ds\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}} \... ...h$R$}}\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle (a)\eta^{(1)}(a)\sigma_n(a)da\end{eqnarray*}$$

に収束する。(91) の後半もほぼ同様にして

$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangl... ...ox{\scriptsize\boldmath$R$}}\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle \eta_n\sigma^{(1)}da$$

が示されるので、 以上により $m\rightarrow\infty$ のとき

  $$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\langle\hat{B}^{(0)}_n\rang... ... \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle B^{(1)}_nda$$ (93)

となり、これで (B3) が示された。

なお、$0<\tau<1$ のときは 元々 $B^{(1)}_n$ には $a=w,a=z$ で特異性があるが、 (93) の極限の右辺は、$a$ での積分によりその特異性は 消えてしまうため、この式を $\nu$ で積分することができるようになり、 よってこの極限の $w,z$ に関する有界性さえ保証されれば (93) の右辺は $\nu$ に関して可積分となる

最後は (B4)。まずは $\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle B^{(1)}_nda$ の $w,z\in [z_1,w_1]$ 上の $n$ に関する一様有界性とその極限 であるが、命題 4 より $\hat{B}^{(0)}_n$ は $w,z\in [z_1,w_1]$, $a\in\mbox{\boldmath$R$}$ 上 $n$ に関して一様有界だから $\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle$ も $a\in\mbox{\boldmath$R$}$ 上 $n$ に関して一様有界 となる。 また、 $\hat{B}^{(0)}_n$ の極限は命題 4 だったので、 Lebesgue 収束定理により、

  $$\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle \rightarrow\langle J_0(w,z,a)\rangle \int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\hat{\psi}_0(t)dt$$ (94)

となる。 一方 $B^{(1)}_n$ は命題 5 のように分けると、 $a$ に関する $L^1$ の部分の積分は、それぞれ

$$\begin{eqnarray*}\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\left\vert\frac{\eta^{(1)}... ...2-1}da \\ &=& (w-z)^{3\tau/2}\mathop{\mathit{B}}(\tau+1,\tau/2)\end{eqnarray*}$$

となり確かに $L^1$ で、その積分も $w,z\in [z_1,w_1]$ 上有界であ るから、 $\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\left\vert B^{(1)}_n\right\vert da$ は $w,z\in [z_1,w_1]$ 上 $n$ に関して一様有界となる。そして

$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle B^{(1)}_n da = \int_z^w\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle B^{(1)}_n da$$

も $w,z\in [z_1,w_1]$ 上 $n$ に関して一様有界となることがわかる。 この極限は、命題 5, (94) と Lebesgue 収束定理により、

  $$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\langle\hat{B}^{(0)}_n\rang... ...\boldmath$R$}}\psi_0(t)dt\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\hat{\psi}_0(t)dt$$ (95)

となる。同様に、 $\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\langle B^{(0)}_n\rangle \hat{B}^{(1)}_n da$ の極限は、(95) の $\psi_0$ と $\hat{\psi}_0$ を入れ替えただけのものなので、 極限値は同じものとなる。よって、

  $$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\left\{ \langle B^{(0)}_n\rangle \hat{B}^{(1)}_n -\langle\hat{B}^{(0)}_n\rangle B^{(1)}_n \right\}da$$ (96)

は $w,z\in [z_1,w_1]$ 上 $n$ に関して一様有界で、 $n\rightarrow\infty$ のときに 0 に収束することが 示されたことになる。そして それにより (96) の $\nu$ での積分も可能で、 それも $n\rightarrow\infty$ のときに 0 に収束することになり、 これで (B4) が確定したことになる。

以上により、(84) の $m\rightarrow\infty$ の 極限により確かに (85) が得られること、 そして (85) の右辺が 0 となることがわかり、 (88) と合わせて次が得られたことになる。

命題 6

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}h(a... ...}\left\langle\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}h(a)B_nda\right\rangle =0$$