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6 曲面積を求める公式: その 2

次は、2 節で述べた方針 3. の方針で考える。

$$\begin{eqnarray*}&& \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(p,q,h),\hspace{1zw} \overrigh... ...eta)} =(a\cos(\theta+\Delta\theta),b\sin(\theta+\Delta\theta),0)\end{eqnarray*}$$

に対し、 $\triangle \mathrm{PQQ'}$ の面積を $\Delta S$ とし、 $\Delta S$ の $\Delta\theta$ による一次近似式を求める。

$$\Delta S = \frac{1}{2}\left\vert\overrightarrow{\mathrm{QP}}\times\overrightarrow{\mathrm{QQ'}}\right\vert$$

であるが、 $\Delta\theta\approx 0$ のとき

$$\overrightarrow{\mathrm{QQ'}} =\overrightarrow{\mathrm{OQ}(\... ...d\theta}\Delta\theta =(-a\sin\theta,b\cos\theta,0)\Delta\theta$$

なので、

$$\begin{eqnarray*}\Delta S & \approx & \frac{1}{2} \vert(p-a\cos\theta,q-b\sin\t... ...2\cos^2\theta) +(ab-pb\cos\theta-qa\sin\theta)^2}\, \Delta\theta\end{eqnarray*}$$

なので、この $\Delta\theta$ の係数を 0 から $2\pi$ まで積分すれば 結局 (17) と同じ式が得られることになる。